Kommutativgesetz < Klassen 5-7 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:53 Mo 28.06.2010 | | Autor: | ms2008de |
Hallo,
Ich hätt mal eine ganz dumme Frage: Warum gilt eigentlich bei der Multiplikation das Kommutativgesetz? Das es so is, is nach etlichen Rechnungen irgendwie selbstverständlich, aber begründen kann ich es leider nicht.
Nehmen wir doch mal: 3*5 = 5*3 =15
Wenn ich nun die Definition der Multiplikation natürlicher Zahlen einsetze steht da: 5+5+5= 3+3+3+3+3. Würde ich nun das Kommutativgesetz nicht kennen, wär das insbesondere bei höheren Zahlenbeispielen fänd ich nicht gerade trivial zu sehen...
Hoffe irgendwer kann mir da einen Tipp geben.
Viele Grüße
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 16:05 Mo 28.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> Ich hätt mal eine ganz dumme Frage: Warum gilt eigentlich
> bei der Multiplikation das Kommutativgesetz? Das es so is,
> is nach etlichen Rechnungen irgendwie selbstverständlich,
> aber begründen kann ich es leider nicht.
> Nehmen wir doch mal: 3*5 = 5*3 =15
> Wenn ich nun die Definition der Multiplikation
> natürlicher Zahlen einsetze steht da: 5+5+5= 3+3+3+3+3.
> Würde ich nun das Kommutativgesetz nicht kennen, wär das
> insbesondere bei höheren Zahlenbeispielen fänd ich nicht
> gerade trivial zu sehen...
> Hoffe irgendwer kann mir da einen Tipp geben.
Die reellen Zahlen werden axiomatisch eingeführt. Die Kommutativgesetze sind Axiome !
http://de.wikipedia.org/wiki/Reelle_Zahl#Axiomatische_Einführung_der_reellen_Zahlen
FREd
>
> Viele Grüße
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 16:10 Mo 28.06.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Huhu,
> Die reellen Zahlen werden axiomatisch eingeführt.
Das ist korrekt.
> Die Kommutativgesetze sind Axiome !
Das ist aber falsch.
Wie du in dem von dir zitiertem Artikel selbst lesen kann, gilt:
"Die durch die rationalen Zahlen induzierte Addition und Multiplikation ist wohldefiniert"
d.h. wird vererbt von den rationalen Zahlen.... und die bekommen sie von den ganzen Zahlen und diese von den natürlichen Zahlen.
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:30 Mo 28.06.2010 | | Autor: | ms2008de |
> Die reellen Zahlen werden axiomatisch eingeführt. Die
> Kommutativgesetze sind Axiome !
>
> http://de.wikipedia.org/wiki/Reelle_Zahl#Axiomatische_Einführung_der_reellen_Zahlen
>
Naja, aber auch über Sinn, Zweck und Rechtmäßigkeit von Axiomen lässt sich streiten, insbesondere das Auswahlaxiom...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:37 Mo 28.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> > Die reellen Zahlen werden axiomatisch eingeführt. Die
> > Kommutativgesetze sind Axiome !
> >
> >
> http://de.wikipedia.org/wiki/Reelle_Zahl#Axiomatische_Einführung_der_reellen_Zahlen
> >
> Naja, aber auch über Sinn, Zweck und Rechtmäßigkeit von
> Axiomen lässt sich streiten
Wenn man nicht genau bescheid weiß, sollte man sich besser zurückhalten .........
Glaubst Du denn reelle Zahlen liegen draußen herum wie Kieselsteine ?
Die Zahlen sind Erfindungen des menschlichen Geistes, haben also von Natur aus keinerlei Eigenschaften. Somit bleibt einem gar nichts anderes übrig, als die reellen Zahlen axiomatisch einzuführen.
Wenn Du anderer Meinung bist, so beantworte mal folgende Fragen:
1. Was sind die reellen Zahlen ?
2. Welchen Grundregeln genügen sie, und warum ?
3. Warum darf man durch 0 nicht dividieren ?
FRED
> , insbesondere das
> Auswahlaxiom...
>
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:49 Mo 28.06.2010 | | Autor: | ms2008de |
> > > Die reellen Zahlen werden axiomatisch eingeführt. Die
> > > Kommutativgesetze sind Axiome !
> > >
> > >
> >
> http://de.wikipedia.org/wiki/Reelle_Zahl#Axiomatische_Einführung_der_reellen_Zahlen
> > >
> > Naja, aber auch über Sinn, Zweck und Rechtmäßigkeit von
> > Axiomen lässt sich streiten
>
>
> Wenn man nicht genau bescheid weiß, sollte man sich besser
> zurückhalten .........
>
>
> Glaubst Du denn reelle Zahlen liegen draußen herum wie
> Kieselsteine ?
>
> Die Zahlen sind Erfindungen des menschlichen Geistes, haben
> also von Natur aus keinerlei Eigenschaften. Somit bleibt
> einem gar nichts anderes übrig, als die reellen Zahlen
> axiomatisch einzuführen.
>
> Wenn Du anderer Meinung bist, so beantworte mal folgende
> Fragen:
>
> 1. Was sind die reellen Zahlen ?
>
> 2. Welchen Grundregeln genügen sie, und warum ?
>
> 3. Warum darf man durch 0 nicht dividieren ?
>
>
> FRED
Moment mal, meine ursprüngliche Frage ging um die Multiplikation natürlicher Zahlen und diese Multiplikation ist ja nunmal Folge der Addition, denn a*b= b+ b+ .... +b und das ganze a-mal. Dagegen Zahlenbereiche axiomatisch einzuführen hab ich absolut nichts.
Bei Frage 3 find ichs allerdings auch Quatsch dafür ein Axiom zu verwenden. Wenn man nicht extra ein Axiom dafür verbrauchen würde, würd ich doch mal folgenden Beweis dafür liefern: Seien a, b [mm] \in \IR [/mm] mit a [mm] \not= [/mm] b. Es gilt: 0*a =0*b. Nun angenommen man dürfte durch 0 teilen, dann wäre aber a=b , also Widerspruch...
Viele Grüße
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Huhu,
die Kommutativität kannst du für natürliche Zahlen direkt aus den ![[]](/images/popup.gif) Peano-Axiomen per vollständiger Induktion herleiten.
Betrachte dir dazu mal, wie die Multiplikation definiert ist und überlege dir die Kommutativität für $m*n$ erstmal für festes [mm] $m\in\IN$ [/mm] und [mm] $n\in\IN$ [/mm] beliebig.
Durch vollständige Induktion über m ergibt sich das dann für beliebige [mm] $m,n\in\IN$. [/mm]
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:23 Mo 28.06.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Ok, ich korrigier mich mal selbst.
Fred hatte nicht unrecht, wenn man die reellen Zahlen wirklich axiomatisch einführt.
Dort fällt die Kommutativität von den "Körperaxiomen" ab, so daß man vorher verstanden haben sollte, was ein "Körper" ist.
Die herangehensweise über die Peano-Axiome in bezug auf die natürlichen Zahlen erscheint mir in diesem Punkt dann sinnvoller für das Verständnis 
MFG,
Gono.
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