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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:00 Mo 18.04.2011 | | Autor: | wimalein |
| Aufgabe | 1.) Jede Gruppe mit weniger als 6 Elementen ist abelsch.
2.) Eine Gruppe G mit [mm] g^{2}=1 [/mm] für alle g [mm] \in [/mm] G ist abelsch. |
Hallo,
die erste Aufgabe ist klar. Jedoch habe ich bei der zweiten Aufgabe Probleme. Dort geht es nicht um die Gruppenordnung, sondern um die Ordnung der Elemente der Gruppe.
In der Aufgabenstellung wird nicht explizit erwähnt, dass die Gruppenoperation die Multiplikation ist, aber ich gehe davon aus, dass 1 das neutrale Element der Gruppe ist. Daher ist die Ordnung aller Elemente ord(g)=2.
über die Gruppenordnung kann ich doch jetzt keine Aussage machen? Es gibt ja unbestimmt viele g [mm] \in [/mm] G.
Zu zeigen wäre, dass für [mm] g,g'\in [/mm] G gilt: g ° g' = g' ° g.
Wenn ich von der Multiplikation als Operation ausgehe, dann ist doch g ° g =1, oder?
Also wie ihr merkt, brauche ich dringend einen kleinen Denkanstoß.
Vielen Dank
Ach ja, ich habe noch nicht rausgefunden, wie man am effizientesten nach ähnlichen Posts im Forum sucht, daher kann ich leider nicht sagen, ob eine ähnliche Frage schon einmal beantortet wurde.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> 2.) Eine Gruppe G mit [mm]g^{2}=1[/mm] für alle g [mm]\in[/mm] G ist
> abelsch.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Seien a,b zwei beliebige Elemente aus G.
Dann ist 1=(ab)(ab).
Jetzt multipliziere mal vorne a dran und hinten b...
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:52 Di 19.04.2011 | | Autor: | wimalein |
Vielen Dank, manchmal sieht man den Wald vor lauter Baeumen, bzw. die Einfachheit der Loesung nicht.
Gruesse
Lydia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:15 Mo 18.04.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> 1.) Jede Gruppe mit weniger als 6 Elementen ist abelsch.
> 2.) Eine Gruppe G mit [mm]g^{2}=1[/mm] für alle g [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
G ist
> abelsch.
> Hallo,
>
> die erste Aufgabe ist klar. Jedoch habe ich bei der zweiten
> Aufgabe Probleme. Dort geht es nicht um die Gruppenordnung,
> sondern um die Ordnung der Elemente der Gruppe.
> In der Aufgabenstellung wird nicht explizit erwähnt, dass
> die Gruppenoperation die Multiplikation ist, aber ich gehe
> davon aus, dass 1 das neutrale Element der Gruppe ist.
das wird so sein. Aber beachte, dass das nur Platzhalter für Elemente der Gruppe sind. Ebenso kann auch die "Multiplikation" ein Platzhalter für eine andere Operation sein.
Wir sind es halt gewohnt, dass bei der Addition (mit reellen/komplexen/... Zahlen) immer das Zeichen + und bzgl. dieses Zeichen das neutrale Element dann 0 geschrieben wird; analoges gilt für die Multiplikation.
Es ist daher zwar "unschön" (und verwirrend, da es die Suggestion bzw. gewohnte Assoziationen zerstört), aber man könnte durchaus definieren:
Sei $G:=\IR$ und die Verknüpfung, welche wir im Folgenden "Multiplikation" nennen, $\odot:=\odot_G:=\odot_{G \times G}:=\odot_{\IR \times \IR}: \IR \times \IR \to \IR$ (bzw., was dasselbe ist:$\odot: G \times G \to G$) definiert durch
$$\odot: \IR \times \IR=G \times G \to \IR=G$$
mit
$$x \odot y:=\odot(x,y):=x+y\,.$$
Hier ist $(G,\odot)=(\IR,+)$ (wobei $+\,$ die übliche Addition reeller Zahlen meint) (rein notationsgemäß) eine "multiplikative" Gruppe (das Symbol $\odot$ deutet ja eine "Multiplikation" an), und das neutrale Element bzgl. $\odot\,,$ also, wie man schreiben würde, das Element $1_{(G,\odot)$ ist hier $=0\,,$ wobei die letztstehende $0\,$ die reelle $0\,$ meint.
Beachte also:
Bei Gruppen hat man i.a. eigentlich eine Verknüpfung vorliegen, und das neutrale Element bezieht sich auf diese Verknüfpung. Schreibt man die Verknüpfung (aus irgendwelchen "naheliegenden" Gründen) etwa "additiv", so schreibt man für das neutrale Element meist $0\,,$ und schreibt man die Verknüpfung "multiplikativ", so schreibt man für das neutrale Element $1\,.$
Anhand meines obigen Beispiels siehst Du etwa mit $\bf{1}\,,$ wobei diese als ${\bf 1}:=1_{(G,\odot)}$ aufzufassen ist, dass dort durchaus ${\bf 1}=0$ gilt.
(Anstatt einer z.B. gängigen Schreibweise $1_G$ für eine "multiplikativ geschriebene" Gruppe $(G,\odot)\,,$ habe ich extra $1_{(G,\odot)}$ geschrieben, denn das neutrale Element einer Gruppe hängt ja nicht nur von der betrachteten Menge $G\,,$ sondern auch von der entsprechenden Verknüpfung $\odot: G \times G \to G$ ab. Im obigen Falle deutet $\odot$ eine Multiplikation an. Allgemein würde man etwa für eine Gruppe $(G,\circ)$ mit einer Verknüpfung $\circ: G \times G \to G$ das neutrale Element $e=e_G\;\;(=e_{(G,\circ)})$ schreiben, und etwa $1:=e\,,$ wenn $\circ$ als eine "Multiplikation" (etwa durch ein "Mal-Zeichen" geschrieben), und $0:=e\,,$ wenn $\circ$ als eine "Addition" geschrieben wäre.)
Beachte aber:
Diese Gleichung $ {\bf 1}=0$ heißt nicht etwa, dass das neutrale Element der Multiplikation in $\IR$ mit dem neutralen der Addition übereinstimmt. Sondern sie besagt:
Mit der obigen Verknüpfung $\odot$ und $G=\IR$ ist $(G;\odot)$ eine Gruppe, deren neutrales Element ${\bf 1}:=1_{(G,\odot)}$ gerade das neutrale Element der Addition in $\IR\,,$ also $0 \in \IR\,,$ ist, also
$$ {\bf 1}=0 \gdw 1_{(G,\odot)}=0\,.$$
> Daher ist die Ordnung aller Elemente ord(g)=2.
> über die Gruppenordnung kann ich doch jetzt keine Aussage
> machen? Es gibt ja unbestimmt viele g [mm]\in[/mm] G.
>
> Zu zeigen wäre, dass für [mm]g,g'\in[/mm] G gilt: g ° g' = g' °
> g.
Naja, für $a [mm] \nto=1_G$ [/mm] ist [mm] $=\{1,a\}$ [/mm] und daher [mm] $\text{ord}(a)=2\,.$ [/mm] Für [mm] $G\,$ [/mm] endlich folgt wegen Lagrange sodann
[mm] $$[G:]=|G|/2\,,$$
[/mm]
Wasm man so schließen kann, ist, dass [mm] $|G|\,$ [/mm] offenbar gerade sein muss. Ob das zur Kommutativität hilft, weiß ich nicht. Aber Angela hat Dir ja einen besseren Tipp gegeben, wie man es direkt nachrechnen kann (insbesondere braucht man dabei $|G| < [mm] \infty$ [/mm] nicht)!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:53 Di 19.04.2011 | | Autor: | wimalein |
Vielen Dank fuer die ausfuehrlich Antwort. Ich muss mir alles noch mal mit ein bisschen mehr Zeit durch den Kopf gehen lassen. Aber beim blossen "ueberfliegen" hat es schon ein paar mal "klick" gemacht.
gruesse
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