www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Gruppe, Ring, Körper" - Kommutativität von zwei Gruppe
Kommutativität von zwei Gruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gruppe, Ring, Körper"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Kommutativität von zwei Gruppe: Kommutativität beweisen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:27 So 12.10.2008
Autor: michaelzzzzz

FrHallo, ich habe folgends Problem:

Ich soll nachweisen, dass die Gruppen G3 und G4 kommutativ sind.
G3 = (x, y, e) G4 = (x, y, z, e). wobei e = neutrales Element. Dazu hab ich mir schon Wahrscheinlichkeitstabellen gebastelt. Jetzt hänge ich aber mit dem Anfang für die Beweisführung fest. Ich komm nur soweit, dass ich eben allgemein die Grundsätze des Kommutativbeweises hinschreibe nämlich
x * y = y * x

und das eben für die ganzen Produkte aus der Wahrscheinlichkeitstabelle durch. Aber wie führt man für Kommutativität richtig nen Beweis?





G3

_____e___x____y____
---------------------------
e____e___x____y____
---------------------------
x____x___e____k____
---------------------------
y____y___k____e____


G4

_____e____x___y_____z
--------------------------------
e____e____x____y____z
--------------------------------
x____x____e____z____l
--------------------------------
y____y____z____e____m
--------------------------------
z____z____l_____m___e

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Kommutativität von zwei Gruppe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:46 So 12.10.2008
Autor: Merle23

Hast du irgendwelche weiteren Informationen bzgl. der Gruppen, ausser dass sie 3 bzw. 4 Elemente enthalten?

Bezug
                
Bezug
Kommutativität von zwei Gruppe: Angabe
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:20 So 12.10.2008
Autor: michaelzzzzz

Nein, es ist nur angegeben, dass ein neutrales Element + 2. bzw. 3. andere Elemente in der jeweiligen Gruppe sind.

Bezug
                        
Bezug
Kommutativität von zwei Gruppe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:26 So 12.10.2008
Autor: sunshinekid

Aber eine Gruppe ist eine Kombination aus einer Menge und einer Verknüpfung, die auf dieser Menge ausgeführt wird.

Ohne diese Verknüpfung ist es nur eine Menge.

MfG Sunny

Bezug
        
Bezug
Kommutativität von zwei Gruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:44 So 12.10.2008
Autor: schachuzipus

Hallo michaelzzzzz,

> FrHallo, ich habe folgends Problem:
>  
> Ich soll nachweisen, dass die Gruppen G3 und G4 kommutativ
> sind.
>  G3 = (x, y, e) G4 = (x, y, z, e). wobei e = neutrales
> Element. Dazu hab ich mir schon Wahrscheinlichkeitstabellen

du meinst Gruppentafeln bzw. Verknüpfungstafeln

> gebastelt. Jetzt hänge ich aber mit dem Anfang für die
> Beweisführung fest. Ich komm nur soweit, dass ich eben
> allgemein die Grundsätze des Kommutativbeweises hinschreibe
> nämlich
> x * y = y * x
>  
> und das eben für die ganzen Produkte aus der
> Wahrscheinlichkeitstabelle durch. Aber wie führt man für
> Kommutativität richtig nen Beweis?

Bei diesen beiden Gruppen kannst du das mit den Verknüpfungstafeln lösen, wenn die Tafeln symmetrisch zur Hauptdiagonale sind, dann ist die Verknüpfung kommutativ

>  
>
>
>
>
> G3
>  
> _____e___x____y____
> ---------------------------
> e____e___x____y____
> ---------------------------
> x____x___e____k____
> ---------------------------
> y____y___k____e____

[notok]

Das ist nicht die Verknüpfungstafel deiner Gruppe mit den 3 Elementen $e,x,y$

Eine Gruppe ist doch insbesondere abgeschlossen bzgl. der Verknüpfung, dh. wenn du je zwei Elemente aus deiner Menge (Gruppe) verknüpfst, muss das Ergebnis wieder in der Menge (Gruppe) sein.

Das k ist also Mumpitz ;-)

Außerdem darf in jeder Zeile und Spalte jedes Element nur genau einmal auftauchen.

Überlege also nochmal scharf, wie die einzige Möglichkeit für eine Verknüpfungstafel aussehen muss.

>
>
> G4
>  
> _____e____x___y_____z
> --------------------------------
> e____e____x____y____z
> --------------------------------
> x____x____e____z____l
> --------------------------------
> y____y____z____e____m
> --------------------------------
> z____z____l_____m___e

Hier dasselbe Problem: in der Tafel dürfen nur die Einträge $e,x,y,z$ auftauchen, in jeder Zeile und Spalte wieder genau einmal.

Im Gegensatz zu der Gruppe mit 3 Elementen gibt es hier nicht nur eine einzige Möglichkeit, eine Tafel aufzustellen ...

>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>    


LG

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Kommutativität von zwei Gruppe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:58 So 12.10.2008
Autor: michaelzzzzz


> G3
>  
> _____e___x____y____
> ---------------------------
> e____e___x____y____
> ---------------------------
> x____x___e____e____
> ---------------------------
> y____y___e____e____


x * x = e
y * y = e
daraus folgt:
y * x = e
x * y = e

ist dem so?

Bezug
                        
Bezug
Kommutativität von zwei Gruppe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:07 So 12.10.2008
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> > G3
>  >  
> > _____e___x____y____
>  > ---------------------------

>  > e____e___x____y____

>  > ---------------------------

>  > x____x___e____e____

>  > ---------------------------

>  > y____y___e____e____


Das passt doch wieder nicht, du hast zB e in der letzten Zeile 2mal vorkommen, das darf nicht sein.

>
> x * x = e
>  y * y = e

Wenn du's so verknüpfst, klappt's nicht, versuche

[mm] $x\circ [/mm] x=y$ und [mm] $y\circ [/mm] y=x$

Wenn du das erste von links mir [mm] $\red{x}$ [/mm] verknüpfst, hast du

[mm] $\red{x}\circ(x\circ x)=\red{x}\circ [/mm] y$, also wegen der Assoziativität auch [mm] $\underbrace{(x\circ x)}_{=y}\circ x=x\circ [/mm] y$

Folglich [mm] $y\circ x=x\circ [/mm] y$

>  daraus folgt:
>  y * x = e
>  x * y = e
>  
> ist dem so?


LG

schachuzipus

Bezug
                                
Bezug
Kommutativität von zwei Gruppe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:31 So 12.10.2008
Autor: michaelzzzzz

Hallo, vielen vielen Dank für den Beitrag. Ich denke nun, ich könnte das Problem im Kern getroffen haben. Folgende Lösung:

x * x = y
y * y = x
x * y = y * x

___|e|___|x|___|y|
___|_|___|_|___|_|
x__|x|___|y|___|e|
y__|y|___|e|___|x|
e__|e|___|x|___|y|
___|_|___|_|___|_|

___|e|___|x|___|y|__|z|
___|_|___|_|___|_|__| |
x__|x|___|y|___|z|__|e|
y__|y|___|z|___|e|__|x|
z__|z|___|e|___|x|__|y|
e__|e|___|x|___|y|__|z|
___|_|___|_|___|_|__|_|


z * y = y * z = x
z * x = e
y * y = e
z * z = y
y * x = x * y = z

Bezug
                                        
Bezug
Kommutativität von zwei Gruppe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:41 So 12.10.2008
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

stelle am besten Anschlussfragen, die leuchten rot und nicht grün wie die beantworteten Fragen ;-)

Dann ist die Wahrscheinlichkeit höher, dass jemand es schnell liest ...

also

> Hallo, vielen vielen Dank für den Beitrag. Ich denke nun,
> ich könnte das Problem im Kern getroffen haben. Folgende
> Lösung:
>  
> x * x = y
>  y * y = x
>  x * y = y * x
>  
> ___|e|___|x|___|y|
>  ___|_|___|_|___|_|
>  x__|x|___|y|___|e|
>  y__|y|___|e|___|x|
>  e__|e|___|x|___|y|
>  ___|_|___|_|___|_|

[ok]

>  
> ___|e|___|x|___|y|__|z|
>  ___|_|___|_|___|_|__| |
>  x__|x|___|y|___|z|__|e|
>  y__|y|___|z|___|e|__|x|
>  z__|z|___|e|___|x|__|y|
>  e__|e|___|x|___|y|__|z|
>  ___|_|___|_|___|_|__|_|

[ok]

Das ist aber nur eine Möglichkeit, eine Gruppentafel für eine Gruppe mit 4 Elementen aufzustellen, finde noch die andere mögliche Tafel, dann hast du's

Ach ja, üblicherweise schreibt man die Elemente in der äußeren linken Spalte in derselben Reihenfolge wie die in der äußeren obersten Zeile

>  
>
> z * y = y * z = x
>  z * x = e
>  y * y = e
>  z * z = y
>  y * x = x * y = z


LG

schachuzipus

Bezug
                                                
Bezug
Kommutativität von zwei Gruppe: komplette Lösung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:03 Mo 13.10.2008
Autor: michaelzzzzz

Nochmal vielen Dank für den Hinweis. Besonders die Sache mit der besseren Schreibweise war ein wirklich guter Tipp!

x * x = y
y * y = x
x * y = y * x =e

___|e|___|x|___|y|
___|_|___|_|___|_|
e__|e|___|x|___|y|
x__|x|___|y|___|e|
y__|y|___|e|___|x|
___|_|___|_|___|_|


___|e|___|x|___|y|
___|_|___|_|___|_|
e__|e|___|x|___|y|
x__|x|___|e|___|x|
y__|y|___|x|___|e|
___|_|___|_|___|_|

x * x = e
y * y = e
e * e = e

y * x = x * y = x



___|e|___|x|___|y|__|z|
___|_|___|_|___|_|__| |
e__|e|___|x|___|y|__|z|
x__|x|___|y|___|z|__|e|
y__|y|___|z|___|e|__|x|
z__|z|___|e|___|x|__|y|
___|_|___|_|___|_|__|_|


z * y = y * z = x
z * x = e
y * y = e
z * z = y
y * x = x * y = z

___|e|___|x|___|y|__|z|
___|_|___|_|___|_|__| |
e__|e|___|x|___|y|__|z|
x__|x|___|e|___|z|__|y|
y__|y|___|z|___|e|__|x|
z__|z|___|y|___|x|__|e|
___|_|___|_|___|_|__|_|


Bezug
                                                        
Bezug
Kommutativität von zwei Gruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:16 Mo 13.10.2008
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> Nochmal vielen Dank für den Hinweis. Besonders die Sache
> mit der besseren Schreibweise war ein wirklich guter Tipp!
>  
> x * x = y
>  y * y = x
>  x * y = y * x =e
>  
> ___|e|___|x|___|y|
>  ___|_|___|_|___|_|
>  e__|e|___|x|___|y|
>  x__|x|___|y|___|e|
>  y__|y|___|e|___|x|
>  ___|_|___|_|___|_|

[ok]

Ja, das ist die richtige und einzig mögliche!! Verknüpfungstafel für eine Gruppe mit 3 Elementen!!

>  
>
> ___|e|___|x|___|y|
>  ___|_|___|_|___|_|
>  e__|e|___|x|___|y|
>  x__|x|___|e|___|x|
>  y__|y|___|x|___|e|
>  ___|_|___|_|___|_|

[notok] Hier steht in der 2.Zeile das x 2mal, das ist also keine Gruppentafel!

>  
> x * x = e
>  y * y = e
>  e * e = e
>  
> y * x = x * y = x
>  
>
>
> ___|e|___|x|___|y|__|z|
>  ___|_|___|_|___|_|__| |
>  e__|e|___|x|___|y|__|z|
>  x__|x|___|y|___|z|__|e|
>  y__|y|___|z|___|e|__|x|
>  z__|z|___|e|___|x|__|y|
>  ___|_|___|_|___|_|__|_|

[ok]

>  
>
> z * y = y * z = x
>  z * x = e
>  y * y = e
>  z * z = y
>  y * x = x * y = z
>  
> ___|e|___|x|___|y|__|z|
>  ___|_|___|_|___|_|__| |
>  e__|e|___|x|___|y|__|z|
>  x__|x|___|e|___|z|__|y|
>  y__|y|___|z|___|e|__|x|
>  z__|z|___|y|___|x|__|e|
>  ___|_|___|_|___|_|__|_|

[ok]

Mir ist gerade eben aufgefallen, dass es neben diesen beiden Möglichkeiten noch zwei Möglichkeit gibt ;-)

Nimm mal [mm] $x\circ [/mm] x=z$, dann bekommst du noch eine Gruppentafel ...

Und du kannst in deiner zweiten Tafel für die 4-elemtige Gruppe in der unteren rechten Ecke die Rolen von x und e vertauschen und bekommst noch eine Tafel ..

Die sind aber ebenfalls symmetrisch zur Hauptdiagonalen, also auch kommutativ

Die hatte ich vorher übersehen ...



Gruß und [gutenacht]

schachuzipus


Bezug
                                                                
Bezug
Kommutativität von zwei Gruppe: müsste komplette lösung sein
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 14:25 Mo 13.10.2008
Autor: michaelzzzzz

___|e|___|x|___|y|
___|_|___|_|___|_|
e__|e|___|x|___|y|
x__|x|___|y|___|e|
y__|y|___|e|___|x|
___|_|___|_|___|_|


___|e|___|x|___|y|__|z|
___|_|___|_|___|_|__| |
e__|e|___|x|___|y|__|z|
x__|x|___|y|___|z|__|e|
y__|y|___|z|___|e|__|x|
z__|z|___|e|___|x|__|y|
___|_|___|_|___|_|__|_|

  
___|e|___|x|___|y|__|z|
___|_|___|_|___|_|__| |
e__|e|___|x|___|y|__|z|
x__|x|___|e|___|z|__|y|
y__|y|___|z|___|e|__|x|
z__|z|___|y|___|x|__|e|
___|_|___|_|___|_|__|_|


___|e|___|x|___|y|__|z|
___|_|___|_|___|_|__| |
e__|e|___|x|___|y|__|z|
x__|x|___|z|___|e|__|y|
y__|y|___|e|___|z|__|x|
z__|z|___|y|___|x|__|e|
___|_|___|_|___|_|__|_|


___|e|___|x|___|y|__|z|
___|_|___|_|___|_|__| |
e__|e|___|x|___|y|__|z|
x__|x|___|e|___|z|__|y|
y__|y|___|z|___|x|__|e|
z__|z|___|y|___|e|__|x|
_ _|_|___|_|___|_|__|_|







Bezug
                                                                        
Bezug
Kommutativität von zwei Gruppe: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:20 Mi 15.10.2008
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gruppe, Ring, Körper"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de