Kommutierende Operatoren < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:21 Mo 05.07.2010 | | Autor: | maybe. |
Hallo,
ich habe eine Frage bzgl. ununterscheidbarer Teilchen und symmetrischen/antisymmetrischen Wellenfunktionen (typischerweise Stoff aus einer Vorlesung Quantenmechanik II):
Also erst mal einige Definitionen aus der Vorlesung:
Transpositionsoperator [mm] P_{ij}: [/mm]
[mm] P_{ij}\Psi(...x_{i}...x_{j}...)=\Psi(...x_{j}...x_{i}...)
[/mm]
Permutationsoperator:
[mm] P=\produkt P_{ij}, [/mm] also irgendeine Kombination aus Transpositionen
Symmetriesierungsoperator:
[mm] S=\summe_{P \in S_{N}}P, [/mm] wobei [mm] S_{N} [/mm] = Symmetrische Gruppe
[mm] \Psi [/mm] heißt symmetrisch, falls für alle Transpositionen (hier alle Paare (i,j) gilt:
[mm] P_{ij}\Psi=\Psi
[/mm]
Dann ist für jede beliebige Funktion [mm] f(x_{1},...,x_{N}) [/mm] Sf symmetrisch,
d.h.
[mm] P_{ij}Sf=Sf
[/mm]
(Denn: In S wird eh über alle Permutationen summiert, das zusätzliche [mm] P_{ij} [/mm] ändert nur die Summationsreihenfolge)
Insbesondere macht damit obige Definition von symmetrisch Sinn, da es tatsächlich solche Funktionen gibt.
Symmetriepostulat:
Der Hilbertraum eines Systems ununterscheidbarer Teilchen enthält entweder nur symmetrische oder nur antisymmetrische Funktionen.
Nun zu meiner Frage:
Also angenommen ich habe ein System ununterscheidbarer Teilchen und alle Funktionen sollen hier symmetrisch sein. (die Frage geht aber auch für antisymmetrisch)
Dann gilt ja nach Definition für alle Funktionen des Hilbertraums:
[mm] P_{ij}\Psi=\Psi [/mm] (für alle Paare (i,j))
Also gilt das insbesondere für die Basisfunktionen des Hilbertraums.
Mein Problem ist aber, dass es dann ja eine Basis aus gemeinsamen Eigenfunktionen zu verschiedenen Transpositionsoperatoren gäbe,
z.B. [mm] P_{12} [/mm] und [mm] P_{23}.
[/mm]
Diese kommutieren aber offensichtlich nicht und ich dachte immer es gilt die Implikation:
Es existiert Basis aus gemeinsamen Eigenvektoren von Operatoren A und B [mm] \Rightarrow [/mm]
[A,B]=0
Kann mir jemand sagen wo mein Denkfehler liegt ?
Vielen Dank schonmal!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:15 Di 06.07.2010 | | Autor: | Kroni |
Hi,
soweit ich das gerade ueberblickt habe, argumentierst du wie folgt:
[mm] $P_{ij}\psi [/mm] = [mm] \psi$, [/mm] also gilt
[mm] $P_{ij}P_{kl}\psi [/mm] = [mm] P_{ij}\psi [/mm] = [mm] \psi$ [/mm] und andersherum genauso, also
[mm] $[P_{ij},P_{kl}] [/mm] = 0$
Wenn wir jetzt aber wirklich fordern, dass
[mm] $P_{ij}\psi(\ldots,i,\ldots,j,\ldots) [/mm] = + [mm] \psi(\ldots,i,\ldots,j,\ldots)$
[/mm]
sich also wirklich nichts durch Anwendung des Permutationsoperators aendert, dann ist es doch wirklich egal, ob ich nun erst $1$ mit $2$ vertausche, wodurch sich nichts aendert, und dann $2$ mit $3$, wodurch sich wieder gar nichts aendert, oder das umgekehrt mache, denn beides mal aendert sich einfach per Definition nichts, also ist es doch 'natuerlich', dass diese kommutieren.
Es ist ja nur im Allgemeinen nicht so, dass die Permutationen kommutieren, aber in diesem Spezialfall ist es ja (nach Konstruktion) so.
LG
Kroni
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:50 Di 06.07.2010 | | Autor: | maybe. |
Hey Kroni,
erstmal danke für deine Antwort.
Du hast aber glaub die Definition von [mm] P_{ij} [/mm] nicht richtig gelesen. Es handelt sich nicht um die Identitätsabbildung, sondern [mm] P_{ij} [/mm] vertauscht die Koordinaten [mm] x_{i} [/mm] und [mm] x_{j}:
[/mm]
[mm] P_{ij}\Psi(...x_{i}...x_{j}...)=\Psi(...x_{j}...x_{i}...) [/mm]
Die Transpositionen vertauschen also ganz sicher nicht, z.B.
[mm] P_{12}P_{23}\Psi(x_{1},x_{2},x_{3})=P_{12}\Psi(x_{1},x_{3},x_{2})=\Psi(x_{3},x_{1},x_{2}) [/mm]
aber
[mm] P_{23}P_{12}\Psi(x_{1},x_{2},x_{3})=P_{23}\Psi(x_{2},x_{1},x_{3})=\Psi(x_{2},x_{3},x_{1})
[/mm]
Über weitere Reaktionen freue ich mich sehr.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:56 Mi 07.07.2010 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ja, wenn man eine allgemeine Wellenfunktion hat, gilt, was du sagst. Und in dem Falle ist im Allgemeinen die Permutation nicht kommutativ.
Aber in der Definition von deinem symmetrischen Zustand (oder auch bosonischem Zustand) steht doch drin, dass sich die Wellenfunktion nicht aendert, wenn man Teilchen $i$ mit $j$ vertauscht, d.h., wie du ja schon geschrieben hast
[mm] $P_{ij} \psi(\ldots,x_i,\ldots,x_j,\ldots) [/mm] = [mm] \psi(\ldots,x_i,\ldots,x_j,\ldots)$
[/mm]
Das ist doch gerade die Ununterscheidbarkeit der Bosonen.
Oder, wie es zB der Herr Schwabl in seinem Buch QM II definiert:
"vollkommen symmetrischen/ antisymmetrischen Wellenfkt. sind definiert durch:
[mm] $P_{ij}\psi_{s,a}(\ldots,i,\ldots,j,\ldots) [/mm] = [mm] \pm \psi_{s,a}(\ldots,i,\ldots,j,\ldots)\,\forall \, [/mm] i,j$ "
wobei die symm. die bosonischen WF und die antisymm. die fermionischen WF sind, was du ja vorraussetzt, dass es vollst. symm. WF sind, indem du hingeschrieben hast
[mm] $P_{ij}\psi [/mm] = [mm] \psi$,
[/mm]
denn wuerden [mm] $x_i$ [/mm] und [mm] $x_j$ [/mm] vertauscht, waere auch [mm] $P_{ij}\psi\not= \psi$ [/mm] und damit deine Argumentationskette nicht gueltig.
LG
Kroni
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:46 Mi 14.07.2010 | | Autor: | maybe. |
Hi,
danke für die Antwort, klar auf dem Raum der symmetrischen Wellenfunktionen kommutieren die Permutationsoperatoren, alles in Ordnung, kein Widerspruch, da stand ich etwas auf der Leitung...
|
|
|
|
