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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:04 Mi 15.01.2014 | | Autor: | goupher |
| Aufgabe | | Sei H := [mm] l^2 (\IR) [/mm] und f: [mm] \IZ [/mm] -> [mm] \IR [/mm] eine function, so dass : [mm] f(n)\le [/mm] 1/(|n|+1) Zeige das der Operator T: Tx(n) = f(n)*x(n) , x [mm] \in [/mm] H kompakt ist . |
Ich habe bereits versucht, mit 2 kriterien zu beweisen, das T kompakt ist.
1) Das bild der Einheitskugeln T( B(1,0)) ist präkompakt.
2) Die Bildfolge einer schwach konvergenten Folge ist konvergent.
Jetzt bin ich bei dem Ansatz , dass eine reihe von Operatoren [mm] T_k [/mm] mit endlichem Rang existiert, die gegen T konvergiert.
ich würde hierbei [mm] T_k(n) [/mm] = T(n) falls |n| < k und ansosnten [mm] T_k(n) [/mm] =0 wählen :
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|T - [mm] T_k [/mm] (x)| = [mm] \summe_{|n|>k } |x(n)f(n)|^2
[/mm]
wobei man x(n) mit 1 abschätzen könnte, und f(n) mit 1/(|n|+1) , was aber leider nicht zu einer Konvergenten reihe führen würde.
ich komme damit also leider auch nicht zum Ziel.
Hat da vielleicht irgendjemand einen Tipp ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:11 Mi 15.01.2014 | | Autor: | goupher |
Ich habe vergessen zu sagen, das für mich allgemeine Tipps eigentlich wichtiger wären, als die Lösung dieses konkrete Beispiels ( Ich schreibe eine Klausur, und das war eine Übungsaufgabe)
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Hiho,
> |T - [mm]T_k[/mm] (x)| = [mm]\summe_{|n|>k } |x(n)f(n)|^2[/mm] wobei man x(n) mit 1 abschätzen könnte, und f(n) mit 1/(|n|+1) , was aber leider nicht zu einer Konvergenten reihe führen würde.
warum nicht?
Gruß,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:11 Mi 15.01.2014 | | Autor: | goupher |
Ups,dankeschön schon mal, da habe ich mich gerade vertan:
[mm] \summe_{|n| > k } |f(n)*x(n)|^2 [/mm] < [mm] \summe_{|n| > k } |f(n)|^2
[/mm]
= [mm] \summe_{|n| > k } 1/(|n|+1)^2 [/mm] < 2 * [mm] \summe_{|n| \in \IN } 1/n^2 [/mm]
welche ja konvergent ist,
D.h. dann , das die Folge [mm] lim_{k \to \inf} \summe_{|n| > k } |f(n)*x(n)|^2 [/mm] eine Nulllfolge seien muss, da sonst die Reihe nicht konvergent wäre.
damit konvergiert [mm] T_k [/mm] gegen T und die Aufgabe ist gelößt(wenn alles richtig ist).
Ich wollte mich übrigens nochmal dafür entschuldigen , dass meine Lösung wohl nicht ganz nachvollziehbar ist.
Beim Berechnen der Operatornorm muss ja ||x|| = 1 sein, deswegen kann man x(n) mit 1 abschätzen
Falls du aber noch generelle Tipps hast würde ich mich freuen, aber auf jeden Fall schon mal danke !!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:37 Do 16.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sei H := [mm]l^2 (\IR)[/mm] und f: [mm]\IZ[/mm] -> [mm]\IR[/mm] eine function, so
> dass : [mm]f(n)\le[/mm] 1/(|n|+1) Zeige das der Operator T: Tx(n)
> = f(n)*x(n) , x [mm]\in[/mm] H kompakt ist .
Das ist i.A. falsch ! ist f(n)=-1 für alle n [mm] \in \IZ, [/mm] so ist T=-I (I= identität auf [mm] l^2. [/mm] Da [mm] l^2 [/mm] unendlichdimensional ist, ist I nicht kompakt.
FRED
> Ich habe bereits versucht, mit 2 kriterien zu beweisen,
> das T kompakt ist.
> 1) Das bild der Einheitskugeln T( B(1,0)) ist präkompakt.
> 2) Die Bildfolge einer schwach konvergenten Folge ist
> konvergent.
>
> Jetzt bin ich bei dem Ansatz , dass eine reihe von
> Operatoren [mm]T_k[/mm] mit endlichem Rang existiert, die gegen T
> konvergiert.
>
> ich würde hierbei [mm]T_k(n)[/mm] = T(n) falls |n| < k und
> ansosnten [mm]T_k(n)[/mm] =0 wählen :
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> |T - [mm]T_k[/mm] (x)| = [mm]\summe_{|n|>k } |x(n)f(n)|^2[/mm]
> wobei man
> x(n) mit 1 abschätzen könnte, und f(n) mit 1/(|n|+1) ,
> was aber leider nicht zu einer Konvergenten reihe führen
> würde.
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> ich komme damit also leider auch nicht zum Ziel.
> Hat da vielleicht irgendjemand einen Tipp ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:59 Do 16.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sei H := [mm]l^2 (\IR)[/mm] und f: [mm]\IZ[/mm] -> [mm]\IR[/mm] eine function, so
> dass : [mm]f(n)\le[/mm] 1/(|n|+1)
Ich vermute, dass es so lautet:
[mm]|f(n)|\le[/mm] 1/(|n|+1)
> Zeige das der Operator T: Tx(n)
> = f(n)*x(n) , x [mm]\in[/mm] H kompakt ist .
> Ich habe bereits versucht, mit 2 kriterien zu beweisen,
> das T kompakt ist.
> 1) Das bild der Einheitskugeln T( B(1,0)) ist präkompakt.
> 2) Die Bildfolge einer schwach konvergenten Folge ist
> konvergent.
>
> Jetzt bin ich bei dem Ansatz , dass eine reihe von
> Operatoren [mm]T_k[/mm]
Du meinst sicher eine Folge [mm] (T_k)
[/mm]
> mit endlichem Rang existiert, die gegen T
> konvergiert.
Gute Idee ! Die [mm] T_k [/mm] sollen allerdings stetig sein und es sollte gelten: [mm] $||T_k-T|| \to [/mm] 0 $ für k [mm] \to \infty, [/mm] wobei $||*||$ die Operatorennorm ist.
>
> ich würde hierbei [mm]T_k(n)[/mm] = T(n) falls |n| < k und
> ansosnten [mm]T_k(n)[/mm] =0 wählen :
Du meinst das Richtige, schreibst es aber falsch auf.
Setze
[mm] T_k((x_n)):=(.....,0,0,f(-k)x_{-k},...,f(-1)x_{-1}, f(0)x_0,f(1)x_1,...,f(k)x_k,0,0,...) [/mm] für k [mm] \in \IN [/mm] und [mm] (x_n) \in l^2.
[/mm]
FRED
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> |T - [mm]T_k[/mm] (x)| = [mm]\summe_{|n|>k } |x(n)f(n)|^2[/mm]
> wobei man
> x(n) mit 1 abschätzen könnte, und f(n) mit 1/(|n|+1) ,
> was aber leider nicht zu einer Konvergenten reihe führen
> würde.
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>
> ich komme damit also leider auch nicht zum Ziel.
> Hat da vielleicht irgendjemand einen Tipp ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:19 Do 16.01.2014 | | Autor: | goupher |
Dankeschön !! DU hast mit allen Bemerkungen recht, das mit der Operatornorm sollte ich so ungefähr gemacht haben, wenn ich nochmal zeit habe schreibe ich das nochmal sauber auf.
Ansonsten müssten die Operatoren [mm] T_k [/mm] doch stetig sein , allein schon weil der rang endlich ist oder ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:36 Do 16.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Dankeschön !! DU hast mit allen Bemerkungen recht, das mit
> der Operatornorm sollte ich so ungefähr gemacht haben,
> wenn ich nochmal zeit habe schreibe ich das nochmal sauber
> auf.
>
> Ansonsten müssten die Operatoren [mm]T_k[/mm] doch stetig sein ,
> allein schon weil der rang endlich ist oder ?
Oh nein !. Es gibt auch unstetige lineare Operatoren mit endlichem Rang !
FRED
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