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| Aufgabe | | Seien K [mm] \subset \IR^{n} [/mm] und L [mm] \subset \IR^{m}. [/mm] Zeigen Sie: K [mm] \times [/mm] L [mm] \subset \IR^{n+m} [/mm] ist genau dann kompakt, wenn K und L kompakt sind. |
Hallo! =)
Ich mache mir grade Gedanken zu dieser Aufgabe und habe paar Überlegungen sowie Fragen. Würde mich freuen wenn mir jemand helfen könnte.
Wir sollen ja die äquivalenz von K, L kompakt und K [mm] \times [/mm] L kompakt zeigen.
" [mm] \Leftarrow [/mm] "
wenn K [mm] \times [/mm] L kompakt ist, dann gibt es eine konvergente Folge. Die Idee ist, dass K und L Teilmengen sind und dass es nach Bolzano-Weierstraß konvergente Folgen gibt, welche K und L wären. Wenn das konvergente Folgen sind, dann sind sie nach der Folgenkompaktheit kompakt. (bin aber nicht sicher, ob die Überlegung richtig ist)
" [mm] \Rightarrow [/mm] "
Wenn K und L kompakt sind, dann gibt es jeweils konvergente Folgen dazu (wegen der Folgenkompaktheit). Da für Folgen [mm] f_{n} \to [/mm] f und
[mm] g_{n} \to [/mm] g gilt [mm] f_{n} [/mm] + [mm] g_{n} \to [/mm] f + g und das auch mit anderen Verknüpfungen der FOlgen der Fall ist, dass auch der Grenzwert durch Verknüpfung der Grenzwerte entsteht, gäbe es eine konvergente Folge in K [mm] \times [/mm] L.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:39 Mo 09.05.2011 | | Autor: | fred97 |
So, pass mal auf:
Was Du oben geschrieben hast, ist ziemlicher Mist. Und das liegt daran, dass Du überhaupt keine Ahnung hast, was Kompaktheit bedeutet. Ich mach Dich damit mal vertraut:
K [mm] \subseteq \IR^n [/mm] heißt kompakt [mm] \gdw [/mm] jede Folge in K enthält eine konvergente Teilfolge deren Limes wieder zu K gehört.
Verinnerliche das und dann mach einen zweiten Anlauf.
FRED
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ok,
> K [mm]\subseteq \IR^n[/mm] heißt kompakt [mm]\gdw[/mm] jede Folge in K
> enthält eine konvergente Teilfolge deren Limes wieder zu K
> gehört.
K [mm] \times [/mm] L [mm] \subset \IR^{n+m} [/mm] heißt also kompakt, genau dann wenn jede folge in K [mm] \times [/mm] L eine konvergente teilfolge enthält, die wieder (also deren GW) in K [mm] \times [/mm] L liegt.. da hab ich das mit der teilfolge wohl ausgelassen...ist noch recht neu das thema.
((Zudem gilt, dass jede beschränkte folge [mm] (x_i) [/mm] in [mm] \IR^n [/mm] mit i,n [mm] \in \IN [/mm] eine konvergente teilfolge besitzt.))
Wenn ich jetzt eine folge [mm] (x_i) [/mm] in K [mm] \times [/mm] L habe, dann besitzt diese eine konvergente Teilfolge, deren GW x wieder in K [mm] \times [/mm] L liegt.
doch wie komme ich jetzt darauf, dass L und K kompakt? Liegt [mm] (x_i) [/mm] nicht ab einem N [mm] \in \IN [/mm] in K bzw. L?? ich komme nicht drauf, wie ich jetzt schließen kann, dass der GW bzw. die konvergente Teilfolge auch in K oder L zu finden ist,sodass diese kompakt wären. Hat jemand eine idee?
LG
Mathehase
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:48 Mo 09.05.2011 | | Autor: | fred97 |
Sei K [mm] \times [/mm] L kompakt .
Sei [mm] (x_m) [/mm] eine Folge in K. Sei l [mm] \in [/mm] L. Dann ist [mm] ((x_m,l)) [/mm] eine Folge in K [mm] \times [/mm] L.
jetzt Du: zeige: [mm] (x_m) [/mm] enthält eine Teilfolge, deren Limes zu K gehört.
Damit ist K kompakt. Genauso zeigt man: L ist kompakt.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:54 Mo 09.05.2011 | | Autor: | huzein |
Anderer Ansatz: Sei [mm] $(k_n,l_m)$ [/mm] eine Folge in [mm] $K\times [/mm] L$. Da [mm] $K\times [/mm] L$ kompakt, gibt es ein [mm] $(k,l)\in K\times [/mm] L$ mit
[mm] $(k_{n_k},l_{m_k})\to [/mm] (k,l).$
Das ist gleichbedeutend mit [mm] $(k_{n_k})\to k\in [/mm] K$ und [mm] $(l_{m_k})\to l\in [/mm] L$. Da [mm] $k_n$ [/mm] eine Folge in $K$ ist und [mm] $l_m$ [/mm] eine in $L$ ist, folgt, dass $K$ und $L$ kompakt sind.
Gruß
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Hi,
danke für die tollen ideen, so hatte ich mir das auch gedacht, dementsprechend wäre doch auch für K udn L kompakt, mit den teilfolgen [mm] k_m_k [/mm] und [mm] l_n_k [/mm] und den grenzwerten k und l. Für die verknüpfung der folgen end grenzwerte gilt:
[mm] (k_m_k +l_n_k) [/mm] --> (k+l) oder auch aberweitig als additiv verknüpft.
also wäre [mm] K\times [/mm] L mit [mm] (k_m_k +l_n_k) \subset K\times [/mm] L kompakt oder??
Geht das so?
LG
mathehase
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:01 Di 10.05.2011 | | Autor: | SEcki |
> [mm](k_m_k +l_n_k)[/mm] --> (k+l) oder auch aberweitig als additiv
> verknüpft.
Du bringst Tupel und Addition durcheinander ... das solltest dir nochmal anschauen.
SEcki
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> > [mm](k_m_k +l_n_k)[/mm] --> (k+l) oder auch aberweitig als additiv
> > verknüpft.
>
> Du bringst Tupel und Addition durcheinander ... das
> solltest dir nochmal anschauen.
oh, schlecht aufgeschrieben, hast recht.
ich meinte das so:
[mm] (k_m_k) +(l_n_k)[/mm] [/mm] --> k+l
das sollten natürlich folgen sein. geht das den vom gedankengang her, also dass die summe der folgen gegen die summe der grenzwerte konvergiert? Denn was anderes fällt mir gerade nicht ein, wie ich noch nders auf den Raum [mm] \IR^{n+m} [/mm] kommen kann.
Liebe Grüße
Mathehase
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:33 Di 10.05.2011 | | Autor: | huzein |
Es ist mir absolut schleierhaft weshalb du ständig mit irgendwelchen Summen hantierst.
Tip: Schau dir an wie das Kreuzprodukt zweier Mengen definiert ist.
Ferner sind die Elemete des [mm] $\mathbb R^{m+n}$ [/mm] (sofernt der zugrundeliegende Körper reeller oder komplexer Natur ist) einfach $(m+n)$-dimensionale Vektoren. Da kommen keine Summen oder sonst was vor.
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:37 Di 10.05.2011 | | Autor: | huzein |
Dir bleibt doch nur noch zu zeigen, dass wenn $K$ und $L$ kompakt sind, dann auch das Kreuzprodukt [mm] $K\times [/mm] L$ kompakt ist.
Dazu nehme man sich eine Folge aus $K$ und eine aus $L$ und identifiziere das Folgenpaar dann als eine Folge in [mm] $K\times [/mm] L$.
Und dann gehts weiter....
Gruß
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