Kompaktheit < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Sei X ein topologischer Raum. [mm] K\subset [/mm] X kompakt und [mm] A\subset [/mm] K abgeschlossen. Zeige: A ist kompakt. |
Hallo zusammen. Schaue mir gerade einen älteren Beweis an. Muss man hier zwingend die Eigenschaft benutzen, dass A beschränkt ist? Ich versteh nicht so ganz warum der Beweis über die Beschränktheit geht.. wieso denn nicht einfach so:
K ist kompakt [mm] \Rightarrow [/mm] es gibt endlich viele offene [mm] V_1,... ,V_n [/mm] so dass [mm] K\subset V_1\cup V_2\cup...\cup V_n [/mm] ist.
Da [mm] A\subset [/mm] K wieso folgt dann nicht direkt [mm] A\subset V_1\cup V_2\cup...\cup V_n?? [/mm] Oder tut es das? Falls nicht: Mich würde wirklich mal interessieren warum das nicht gilt!
Grüße, kulli
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:17 So 17.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei X ein topologischer Raum. [mm]K\subset[/mm] X kompakt und
> [mm]A\subset[/mm] K abgeschlossen. Zeige: A ist kompakt.
> Hallo zusammen. Schaue mir gerade einen älteren Beweis
> an. Muss man hier zwingend die Eigenschaft benutzen, dass A
> beschränkt ist? Ich versteh nicht so ganz warum der Beweis
> über die Beschränktheit geht..
Beschräntheit in einem allg. top. Raum ist doch sinnlos !
> wieso denn nicht einfach
> so:
>
> K ist kompakt [mm]\Rightarrow[/mm] es gibt endlich viele offene
> [mm]V_1,... ,V_n[/mm] so dass [mm]K\subset V_1\cup V_2\cup...\cup V_n[/mm]
> ist.
Das ist doch für jede Teilmenge T von X der Fall: T [mm] \subset [/mm] X und X ist offen.
K ist kompakt [mm] \gdw [/mm] jede offene Überdeckung von K enthält eine endliche Teilüberdeckung von K.
>
> Da [mm]A\subset[/mm] K wieso folgt dann nicht direkt [mm]A\subset V_1\cup V_2\cup...\cup V_n??[/mm]
> Oder tut es das? Falls nicht: Mich würde wirklich mal
> interessieren warum das nicht gilt!
Nimm eine offene Überdeckung von A her. Wenn Du zu dieser noch X \ A hinzufügst, hast Du eine offene Überdeckung von K.
Jetzt nutze die Kompaktheit von K, um zu einer endlichen Teilüberdeckung vo n A zu kommen.
FRED
>
> Grüße, kulli
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:33 So 17.06.2012 | | Autor: | kullinarisch |
> > Sei X ein topologischer Raum. [mm]K\subset[/mm] X kompakt und
> > [mm]A\subset[/mm] K abgeschlossen. Zeige: A ist kompakt.
> > Hallo zusammen. Schaue mir gerade einen älteren Beweis
> > an. Muss man hier zwingend die Eigenschaft benutzen, dass A
> > beschränkt ist? Ich versteh nicht so ganz warum der Beweis
> > über die Beschränktheit geht..
>
> Beschräntheit in einem allg. top. Raum ist doch sinnlos !
Entschuldige.. Ich meinte natürlich Abgeschlossenheit. [mm] A\subset [/mm] K ist ja abgeschlossen.
>
>
> > wieso denn nicht einfach
> > so:
> >
> > K ist kompakt [mm]\Rightarrow[/mm] es gibt endlich viele offene
> > [mm]V_1,... ,V_n[/mm] so dass [mm]K\subset V_1\cup V_2\cup...\cup V_n[/mm]
> > ist.
>
> Das ist doch für jede Teilmenge T von X der Fall: T
> [mm]\subset[/mm] X und X ist offen.
>
> K ist kompakt [mm]\gdw[/mm] jede offene Überdeckung von K enthält
> eine endliche Teilüberdeckung von K.
>
>
> >
> > Da [mm]A\subset[/mm] K wieso folgt dann nicht direkt [mm]A\subset V_1\cup V_2\cup...\cup V_n??[/mm]
> > Oder tut es das? Falls nicht: Mich würde wirklich mal
> > interessieren warum das nicht gilt!
>
> Nimm eine offene Überdeckung von A her. Wenn Du zu dieser
> noch X \ A hinzufügst, hast Du eine offene Überdeckung
> von K.
>
> Jetzt nutze die Kompaktheit von K, um zu einer endlichen
> Teilüberdeckung vo n A zu kommen.
Ja so ist mir der Beweis ja auch bekannt. Ist auch schön gezeigt, aber was spielt die Abgeschlossenheit da überhaupt für eine Rolle? Selbst wenn A offen wäre, ist A ja immer noch Teilmenge von K und wird dann immer noch überdeckt von jeder Teilüberdeckung von K. Oder nicht?
Es gilt doch:
[mm] A\subset K\subset V_1\cup...\cup V_n [/mm] mit den [mm] V_i [/mm] endlich viele offene Mengen. Dann folgt doch direkt [mm] A\subset V_1\cup...\cup V_n [/mm] und damit A auch kompakt. Ob A offen oder abgeschlossen ist doch dann völlig egal!?
Vielleicht hab ich einfach nur eine zu bildliche Vorstellung davon...
Mfg, kulli
> FRED
> >
> > Grüße, kulli
> >
> >
>
|
|
|
| |
|
Ach Käse.. jetzt hab ichs doch verstanden. Das jede offene Teilüberdeckung von K auch eine offene Teilüberdeckung von A ist reicht ja nicht aus, damit A kompakt ist.. Wie du eigentlich auch geschrieben hast, muss man ja von einer offenen Überdeckung von A ausgehen. Damit hat sich obige Frage erledigt! Danke 
|
|
|
|
