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Kompaktheit: Hilfestelltung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:50 Mo 10.12.2012
Autor: Mats22

Aufgabe
[mm] M=\bigcup_{n=1}^{\infty}[\bruch{1}{n+1}, \bruch{1}{n}] [/mm]

Hallo, Ich soll prüfen ob obenbeschriebene Menge kompakt ist!
Eine Menge ist ja kompaklt wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.
Deshalb würde ich sagen, das die einzelnen Intervalle schonmal kompakt sind
Bei der Vereinigung bin ich mir nicht so sicher!
Einererseits hab ich mir überlegt das sie eigentlich durch 0 nach unten und durch 1 nach oben beschränkt ist!
Andererseits ist die Vereinigung von unendlich vielen kompakten Intervallen laut google nicht kompakt!
Jetzt weiß ich natürlich nciht was stimmt und auch nicht wie ich das jeweilige beweisen bzw. zeigen könnte!
Um Hilfe wäre ich sehr dankbar!
        
Bezug
Kompaktheit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:00 Mo 10.12.2012
Autor: fred97


> [mm]M=\bigcup_{n=1}^{\infty}[\bruch{1}{n+1}, \bruch{1}{n}][/mm]
>  
> Hallo, Ich soll prüfen ob obenbeschriebene Menge kompakt
> ist!
>  Eine Menge ist ja kompaklt wenn sie abgeschlossen und
> beschränkt ist.
>  Deshalb würde ich sagen, das die einzelnen Intervalle
> schonmal kompakt sind
>  Bei der Vereinigung bin ich mir nicht so sicher!
>  Einererseits hab ich mir überlegt das sie eigentlich
> durch 0 nach unten und durch 1 nach oben beschränkt ist!
>  Andererseits ist die Vereinigung von unendlich vielen
> kompakten Intervallen laut google nicht kompakt!
>  Jetzt weiß ich natürlich nciht was stimmt und auch nicht
> wie ich das jeweilige beweisen bzw. zeigen könnte!
>  Um Hilfe wäre ich sehr dankbar!

Zeige: M=(0,1]

FRED

Bezug
                
Bezug
Kompaktheit: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 09:13 Mo 10.12.2012
Autor: Mats22

[mm] M=...=[\bruch{1}{2},1]\cup[\bruch{1}{3},\bruch{1}{2}]\cup[\bruch{1}{4},\bruch{1}{3}]\cup[\bruch{1}{5},\bruch{1}{4}]\cup...\cup[\bruch{1}{n+1},\bruch{1}{n}]\cup [/mm] ...
Für n gegen [mm] \infty [/mm] geht das Intervall gegen (0,0) und das kleinste Intervall (0,0) [mm] \cup [\bruch{1}{2},1] [/mm] mit dem größten Intervall der Vereinigung gibt dann M=(0,1]
und jetzt?
Bezug
                        
Bezug
Kompaktheit: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:20 Mi 12.12.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                        
Bezug
Kompaktheit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:55 Mi 12.12.2012
Autor: Teufel

Ist die Menge $(0,1]$ denn kompakt? z.B. abgeschlossen und beschränkt?
Bezug
                                
Bezug
Kompaktheit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:00 Mi 12.12.2012
Autor: Mats22

Nein, sie ist nicht kompakt!
Sie ist zwar beschränkt durch 0 und 1!
Aber sie ist nach unten nicht abgeschlossen!!
Bezug
                                        
Bezug
Kompaktheit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:08 Mi 12.12.2012
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Nein, sie ist nicht kompakt!
>  Sie ist zwar beschränkt durch 0 und 1!
>  Aber sie ist nach unten nicht abgeschlossen!!

[ok] !!

MFG,
Gono.

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