Kompaktheit metr. Raum < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:41 So 17.04.2016 | | Autor: | bquadrat |
| Aufgabe | | Ist der Raum C([0;1],[0;1]) der stetigen Funktionen, die das Einheitsintervall in sich selbst abbilden, kompakt bezüglich der Supremumsmetrik? |
Ich habe leider immer so meine Probleme mit dem Kompaktheitsbegriff... In topologischen Räumen geht das irgendwie noch aber sobald man Kompaktheit in metrischen Räumen (außer in [mm] \IR^{n} [/mm] mit der euklidischen Metrik, da ist es ja sehr einfach) nachweisen soll, bin ich total aufgeflogen.
Standard ist ja, sei [mm] \bigcup_{O\in\\J}(O)=C([0;1],[0;1]) [/mm] mit J beliebiege Menge offener Mengen. Zu zeigen oder zu widerlegen ist nun, dass es eine endliche Teilmenge [mm] K\subset\\J [/mm] gibt, sodass [mm] \bigcup_{O\in\\K}(O)=C([0;1],[0;1]). [/mm] Aber wie mache ich das? Kann mir da bitte einer weiterhelfen?
LG und danke im Voraus
[mm] b^{2}
[/mm]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:59 Mo 18.04.2016 | | Autor: | fred97 |
> Ist der Raum C([0;1],[0;1]) der stetigen Funktionen, die
> das Einheitsintervall in sich selbst abbilden, kompakt
> bezüglich der Supremumsmetrik?
> Ich habe leider immer so meine Probleme mit dem
> Kompaktheitsbegriff... In topologischen Räumen geht das
> irgendwie noch aber sobald man Kompaktheit in metrischen
> Räumen (außer in [mm]\IR^{n}[/mm] mit der euklidischen Metrik, da
> ist es ja sehr einfach) nachweisen soll, bin ich total
> aufgeflogen.
In einem metrischen Raum X ist eine Teilmenge M doch genau dann kompakt, wenn jede Folge aus M eine konvergente Teilfolge enthält, deren Grenzwert zu M gehört.
>
> Standard ist ja, sei [mm]\bigcup_{O\in\\J}(O)=C([0;1],[0;1])[/mm]
> mit J beliebiege Menge offener Mengen. Zu zeigen oder zu
> widerlegen ist nun, dass es eine endliche Teilmenge
> [mm]K\subset\\J[/mm] gibt, sodass
> [mm]\bigcup_{O\in\\K}(O)=C([0;1],[0;1]).[/mm] Aber wie mache ich
> das?
Das wird haarig !
> Kann mir da bitte einer weiterhelfen?
Oben habe ich Dir geschrieben, wie man Kompaktheit in metrischen Räumen charakterisieren kann.
Ist X:= C([0;1],[0;1]) mit der Supremumsmetrik versehen, so ist die Konvergenz einer Folge aus X bez. dieser Metrik gleichbedeutend mit der gleichmäßigen Konvergenz dieser Folge auf [0,1].
Ich nehms vorweg: obiger Raum X ist nicht kompakt. Finde also eine Folge [mm] (f_n) [/mm] in X, die keine gleichmäßig konvergente Teilfolge enthält.
FRED
>
> LG und danke im Voraus
>
> [mm]b^{2}[/mm]
|
|
|
|
