Kompaktum uh-stetige F. inf < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:35 So 06.01.2013 | | Autor: | silfide |
| Aufgabe | | Sei [mm] K\subseteq\IR [/mm] ein Kompaktum und f:K [mm] \to \IR [/mm] eine unterhalbstetige Funktion. Zeigen Sie: f besitzt ein Minimum auf K. |
Hallo Leute,
kann sich mal bitte jemand meine Lösung anschauen??
Lösung:
Da [mm] K\subseteq\IR [/mm] kompakt, ist [mm] K\subseteq\IR [/mm] auch folgenkompakt und f unterhalbstetig [mm] \gdw [/mm] Es gelte für jede Folge [mm] (x_{n}) [/mm] mit [mm] x_{n} \to [/mm] x die Ungleichung [mm] f(x)\le \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] inf [mm] f(x_{n})
[/mm]
Seien a = inf [mm] \{ f(x)|x\in K \} [/mm] und [mm] (x_{n}) [/mm] Folge mit [mm] f(x_{n}) \to [/mm] a.
Da K folgekompakt ist, exs. eine Teilfolge [mm] (x_{n}^{s})_{s\in\IN} [/mm] mit [mm] x_{n}^{s} \to [/mm] x für s [mm] \to \infty.
[/mm]
Da f unterhalbstetig ist, folgt [mm] f(x)\le \limes_{s\rightarrow\infty} [/mm] inf [mm] f(x_{n}^{s})=a
[/mm]
Bin mir unsicher, ob das stimmig und komplett ist...
Bitte um Antwort
Silfide
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:12 So 06.01.2013 | | Autor: | Helbig |
Hallo Silfide,
> Sei [mm]K\subseteq\IR[/mm] ein Kompaktum und f:K [mm]\to \IR[/mm] eine
> unterhalbstetige Funktion. Zeigen Sie: f besitzt ein
> Minimum auf K.
> Hallo Leute,
>
> kann sich mal bitte jemand meine Lösung anschauen??
>
> Lösung:
>
> Da [mm]K\subseteq\IR[/mm] kompakt, ist [mm]K\subseteq\IR[/mm] auch
> folgenkompakt und f unterhalbstetig [mm]\gdw[/mm] Es gelte für jede
> Folge [mm](x_{n})[/mm] mit [mm]x_{n} \to[/mm] x die Ungleichung [mm]f(x)\le \limes_{n\rightarrow\infty}[/mm]
> inf [mm]f(x_{n})[/mm]
>
> Seien a = inf [mm]\{ f(x)|x\in K \}[/mm] und [mm](x_{n})[/mm] Folge mit
> [mm]f(x_{n}) \to[/mm] a.
> Da K folgekompakt ist, exs. eine Teilfolge
> [mm](x_{n}^{s})_{s\in\IN}[/mm] mit [mm]x_{n}^{s} \to[/mm] x für s [mm]\to \infty.[/mm]
Dies ist eine sehr mißverständliche Art, eine Teilfolge zu notieren. Besser [mm] $(x_{n_k})$, [/mm] noch besser [mm] $(x'_n)\,.$
[/mm]
>
> Da f unterhalbstetig ist, folgt [mm]f(x)\le \liminf_{s\rightarrow\infty}[/mm][mm]f(x_{n}^{s})=a[/mm]
Warum ist [mm] $\liminf_{n\to\infty} [/mm] f(x'_n) = [mm] a\,?$
[/mm]
Und warum folgt daraus, daß $f$ ein Minimum hat?
Mit den Antworten auf beide Fragen wäre Dein Beweis perfekt!
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:45 So 06.01.2013 | | Autor: | silfide |
Hallo Wolfgang,
> > Da f unterhalbstetig ist, folgt [mm]f(x)\le \liminf_{s\rightarrow\infty}[/mm][mm]f(x_{n}^{s})=a[/mm]
>
> Warum ist [mm]\liminf_{n\to\infty} f(x'_n) = a\,?[/mm]
Weil jede Teilfolge einer Folge gegen den gleichen Wert konvergiert und jede konvergente Folge ein Infinimum hat.
(komisch ausgedrückt...) ... bin mir auch nicht sicher ob ich richtig denke....
> Und warum folgt daraus, daß [mm]f[/mm] ein Minimum hat?
Weil f eine unterhalbstetige Funktion ist, d.h. dass keine Punkt von F unterhalb der x-Achse liegt und somit ist f beschränkt, also muss f ein Minimum haben ...
Gruß,
Mia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:59 So 06.01.2013 | | Autor: | Helbig |
Hallo Mia,
>
> > > Da f unterhalbstetig ist, folgt [mm]f(x)\le \liminf_{s\rightarrow\infty}[/mm][mm]f(x_{n}^{s})=a[/mm]
>
> >
> > Warum ist [mm]\liminf_{n\to\infty} f(x'_n) = a\,?[/mm]
>
> Weil jede Teilfolge einer Folge gegen den gleichen Wert
> konvergiert und jede konvergente Folge ein Infinimum hat.
Das mit dem Infimum ist hier irrelevant. Ich hätte da folgendes anzubieten:
Der [mm] $\liminf$ [/mm] einer konvergenten Folge ist ihr Grenzwert, in diesem Fall also $a$.
>
> (komisch ausgedrückt...) ... bin mir auch nicht sicher ob
> ich richtig denke....
>
> > Und warum folgt daraus, daß [mm]f[/mm] ein Minimum hat?
>
> Weil f eine unterhalbstetige Funktion ist, d.h. dass keine
> Punkt von F unterhalb der x-Achse liegt und somit ist f
> beschränkt, also muss f ein Minimum haben ...
Das ist jetzt ganz daneben. Wir sollen doch gerade zeigen, daß $f$ ein Minimum hat. Da $f$ unterhalbstetig ist, ist $f(x) [mm] \le \liminf_{n\to\infty} [/mm] f(x'_n) = [mm] a\,.$ [/mm] Und warum ist [mm] $a\le f(x)\,?$
[/mm]
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:22 So 06.01.2013 | | Autor: | silfide |
Hallo Wolfgang,
> Da [mm]f[/mm] unterhalbstetig ist, ist [mm]f(x) \le
> \liminf_{n\to\infty} f(x'_n) = a\,.[/mm]
> Und warum ist [mm]a\le f(x)\,?[/mm]
Bin jetzt völlig durch den Wind...
Wenn einerseits f(x) [mm] \le [/mm] a\ und andererseits a [mm] \le [/mm] f(x), dann müsste doch eigentlich a=f(x) sein...
Neeeee.....???
Knoten im Kopf.
Mia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:28 So 06.01.2013 | | Autor: | Helbig |
Hallo Mia,
>
> > Da [mm]f[/mm] unterhalbstetig ist, ist [mm]f(x) \le
> \liminf_{n\to\infty} f(x'_n) = a\,.[/mm]
> > Und warum ist [mm]a\le f(x)\,?[/mm]
>
> Bin jetzt völlig durch den Wind...
>
> Wenn einerseits f(x) [mm]\le[/mm] a\ und andererseits a [mm]\le[/mm] f(x),
> dann müsste doch eigentlich a=f(x) sein...
>
> Neeeee.....???
Genau! Und damit ist a das Minimum von f auf K. Und das wollten wir zeigen!
Gruß
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:39 So 06.01.2013 | | Autor: | silfide |
Hallo Wolfgang,
DANKE für deine Hilfestellung!!
Mia
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:15 So 06.01.2013 | | Autor: | silfide |
| Aufgabe | | Sei [mm] K\subseteq\IR [/mm] ein Kompaktum und f:K [mm] \to \IR [/mm] eine unterhalbstetige Funktion. Zeigen Sie: f besitzt ein Minimum auf K. |
Hallo Wolfgang,
sag mal: Fällt dir ne Möglichkeit ein die Aufgabe auch ohne Folgenkompaktheit zu lösen??
Bin gerade ratlos, ob ich das schon benutzen darf...
Mia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:29 So 06.01.2013 | | Autor: | Helbig |
Hallo Mia,
> Sei [mm]K\subseteq\IR[/mm] ein Kompaktum und f:K [mm]\to \IR[/mm] eine
> unterhalbstetige Funktion. Zeigen Sie: f besitzt ein
> Minimum auf K.
>
> sag mal: Fällt dir ne Möglichkeit ein die Aufgabe auch
> ohne Folgenkompaktheit zu lösen??
>
> Bin gerade ratlos, ob ich das schon benutzen darf...
Doch, doch, das darfst Du. Wie habt Ihr kompakt denn definiert?
Üblich ist: kompakt = abgeschlossen und beschränkt.
Da K beschränkt ist, hat jede Folge eine konvergente Teilfolge. (Bolzano Weierstraß)
Da K abgeschlossen ist, liegt der Grenzwert jeder konvergenten Folge in K.
Beides zusammen ist dann "folgenkompakt". Wenn Ihr den Begriff nicht hattet, würde ich ihn auch nicht verwenden. Aber sicher kannst Du verwenden, daß jede Folge eine konvergente Teilfolge hat, deren Grenzwert in K liegt.
Gruß,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:14 So 06.01.2013 | | Autor: | silfide |
Hallo Wolfgang,
ja, genauso haben wir kompakt definiert ...
Danke, ich schreibe es etwas um, um den Begriff "Folgenkompakt" zu umschiffen.
Mia
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