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Sei V ein Vektorraum. DIe Untervektorräume [mm] U_{1} [/mm] und [mm] U_{2} [/mm] von V heissen komplementär, falls [mm] U_{1} [/mm] + [mm] U_{2} [/mm] = V und [mm] U_{1} \cap U_{2} [/mm] = {0}.
Beweise: Zu jedem Untervektorraum [mm] U_{1} [/mm] von V gibt es einen komplementären Untervektorraum [mm] U_{2} [/mm] und [mm] dim(U_{1}) [/mm] + [mm] dim(U_{2}) [/mm] = dim(V).
Ich verstehe zwar die Definition von Komplementär und auch was gefragt ist, habe aber keine Ahnung, wie ich hier anfangen soll. Hat jemand eine Idee?
Gruss
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> Sei V ein Vektorraum. DIe Untervektorräume [mm]U_{1}[/mm] und [mm]U_{2}[/mm]
> von V heissen komplementär, falls [mm]U_{1}[/mm] + [mm]U_{2}[/mm] = V und
> [mm]U_{1} \cap U_{2}[/mm] = {0}.
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> Beweise: Zu jedem Untervektorraum [mm]U_{1}[/mm] von V gibt es einen
> komplementären Untervektorraum [mm]U_{2}[/mm] und [mm]dim(U_{1})[/mm] +
> [mm]dim(U_{2})[/mm] = dim(V).
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> Ich verstehe zwar die Definition von Komplementär und auch
> was gefragt ist, habe aber keine Ahnung, wie ich hier
> anfangen soll. Hat jemand eine Idee?
Hallo,
jeder VR hat eine Basis, so auch [mm] U_1. [/mm]
Nimm eine Basis des [mm] U_1, [/mm] nutze den Basisergänzungssatz und ergänze sie zu einer Basis von V.
Dann weiter.
Gruß v. Angela
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