Komplementärraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:32 Fr 28.01.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo!
1.Frage: Was ist ein Komplemenrärraum?
Kann mir irgendwie nichts graphisches darunter vorstellen.
2.Frage: Was ist konkret die lineare Mannigfaltigkeit?
Wäre schön wenn ihr es mir einfach so erklären würdet oder ein paar gute Lnks posten könntet. Danke!
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Hallo.
Zu 1.: Ein Komplement zu einem Unterraum U von V ist ein Unterraum W, mit dem [mm]U \oplus W = V[/mm] gilt, wobei [mm]\oplus[/mm] die direkte Summe der Unterräume U und W bezeichnet, das heißt, daß einerseits [mm] \{x + y | x \in U, y \in W \} =: U + W = V[/mm], und andererseits [mm]U \cap W = \{0 \}[/mm] gilt.
Im [mm]\IR^2[/mm] sind lineare Unterräume beispielsweise Geraden durch den Ursprung.
Dann könnte man sich ein Komplement zu so einem Raum vorstellen als eine weitere Gerade, die zur ersten nicht parallel ist.
Im [mm]\IR^3[/mm] könnte man sich eine Ebene vorstellen, die den Ursprung enthält und eine Gerade, die die Ebene in 0 durchstößt.
Gruß,
Christian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:17 So 30.01.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Reaper!
Es gibt nicht die lineare Mannigfaltgkeit.
Mit "Linearen Mannigfaltigkeiten" bezeichnet man häufig einfach affine Unterräume, also im [mm] $\IR^n$ [/mm] etwa Mengen
$x+U$,
wobei $x [mm] \in \IR^n$ [/mm] und $U$ ein Untervektorraum des [mm] $\IR^n$ [/mm] ist.
Beispiel:
In [mm] $\IR^2$ [/mm] sind alle Punkte und alle affinen Geraden lineare Mannigfaltigkeiten (sowie natürlich der [mm] $\IR^2$ [/mm] selbst), im [mm] $\IR^3$ [/mm] alle Punkte, alle affinen Geraden und alle affinen Ebenen (also in beidem Fall auch solche, die nicht durch den Nullpunkt gehen) sowie der [mm] $\IR^3$ [/mm] selbst natürlich.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:42 So 30.01.2005 | | Autor: | Reaper |
Was sind affine Unterräume?
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Affine Unterräume sind Teilmengen U eines linearen Unterraums V, für die jede affine Linearkombination von Elementen aus U wieder in U liegt, eine Linearkombination heißt affin, falls die Summe der Koeffizienten gleich 1 ist.
Also muß für affine Unterräume gelten:
[mm] \summe_{i=1}^{n}\lambda_i*v_i \in U[/mm] für alle [mm]v_i \in U[/mm] und [mm]\lambda_i \in K[/mm] mit [mm]\summe_{i=1}^{n} \lambda_i = 1[/mm].
Gruß,
Christian
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