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| Aufgabe | Es sei 0 [mm] \to V_{1} \to V_{2} \to [/mm] ..... [mm] V_{n} \to [/mm] 0 ein Komplex
[mm] V_{1} \to V_{2} :=S_{1}
[/mm]
[mm] V_{n-1} \to V_{n} :=S_{n-1}
[/mm]
Man definiert die Euler Charakteristik des Komplexes als
X:= [mm] \summe_{i=1}^{n} (-1)^{i} [/mm] * dim [mm] V_{i} [/mm]
Beweisen Sie: wenn die Sequenz exakt ist, dann ist X=0 |
Hi,
Ich würde gerne über die Dimensionsformel argumentieren wenn das geht, aber das ganze soll wahrscheinlich über Induktion laufen und da hapert es sehr,
bitte gebt mir einen Ansatz oder erklärt mir wie ich da vorwärts komme, weil für Lineare Algebra I find ich das schon ziemlich schwer....
lg Richard
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:02 Mo 14.01.2008 | | Autor: | Damn88 |
Hey,
ich hab auch Probleme mit dieser Aufgabe..also werd ich dir zwar nicht helfen können, aber ich stell mal meinen Anfang rein und vllt hilft uns ja dann einer :/
Bei mir steht noch ein Hinweis zu der Aufgabe:
"Schauen Sie zuerst die Fälle n=2 und n=3 an. Wahrscheinlich werden Sie vollständige Induktion verwenden. Dazu kann folgende Bebachtung nützlich sein:Die Sequenz
0 [mm] \to V_1 \to V_2 \to ...\to V_{n-2} \to coker(S_{n-3}) \to [/mm] 0
ist ebenfalls exakt."
IA
n=2
0 [mm] \to V_1 \to V_2 \to [/mm] 0
Soll: [mm] -dimV_1 [/mm] + [mm] dimV_2 [/mm] = 0 also [mm] dimV_1 [/mm] = [mm] dimV_2
[/mm]
Aus der Exaktheit folgt aber das [mm] S_1 [/mm] surjektiv und injetiv ist, also bijektv, da die Abbildungen linear ist, gibt es also einen Isomorphismus zwischen [mm] V_1 [/mm] und [mm] V_2, [/mm] dh sie haben die selbe Dimension. Also stimmt die Gleichung
n=3
0 [mm] \to V_1 \to V_2 \to V_3 \to [/mm] 0
soll: [mm] -dimV_1 [/mm] + [mm] dimV_2 [/mm] - [mm] dimV_3 [/mm] = [mm] dimV_2 -(dimV_1+dimV_3) [/mm] = 0
also: [mm] dimV_2 [/mm] = [mm] dimV_1 +dimV_3
[/mm]
Aus einer Aufgabe davor wissen wir dass:
[mm] V_2 \cong V_1 \oplus V_3
[/mm]
also haben doch [mm] V_2 [/mm] und [mm] (V_1 \oplus V_3) [/mm] die selbe Dimension.
Kann ich hierraus jetzt folgern, dass [mm] dimV_2 [/mm] = [mm] dimV_1 +dimV_3 [/mm] und somit stimmt die Gleichung?
wenn ja, wäre der Induktionsanfang gezeigt.
Wie kann/soll ich denn nun die andere Sequenz:
0 [mm] \to V_1 \to V_2 \to ...\to V_{n-2} \to coker(S_{n-3}) \to [/mm] 0 verwenden?
Und kann ich davon ausgehen, dass Sie exakt ist oder muss ich das noch zeigen? Und was kann ich dann daraus für den Induktionsschluss schließen:(?
Ich weiß, ja, dass gilt:
[mm] dimV_i [/mm] = [mm] dimKer(S_i) [/mm] + [mm] dimIm(S_i)
[/mm]
der coKern von [mm] S_i [/mm] = [mm] V_{i+1}/Im(S_i)
[/mm]
und [mm] ker(S_{i+1}) [/mm] = [mm] Im(S_i)
[/mm]
Also: [mm] coker(S_{n-3})=V_{n-2}/Im(S_{n-3}) [/mm] = [mm] V_{n-2}/ker(S_{n-2})
[/mm]
naja ich komm einfach nicht weiter.. wäre toll wenn mir jemand ein wenig helfen könnte :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Mi 16.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:21 Do 17.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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