Komplex differenzierbar? < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:18 Fr 10.11.2006 | | Autor: | papillon |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion [mm] f(z)=z^{n}.
[/mm]
1. Zeigen Sie, dass f komplex differenzierbar ist.
2. Zeigen Sie, dass für die Ableitung gilt: [mm] \bruch{\partial}{\partial z}z^{n}=n\*z^{n-1} [/mm] |
Hallo!
1. Mein Ansatz wäre, dass ich zeige:
[mm] \bruch{\partial}{\partial \overline{z}}z^{n}=\bruch{1}{2}( \bruch{\partial}{\partial x}+i \bruch{\partial}{\partial y})(x+iy)^{n}=0 [/mm] ,
denn so habe ich es auch für f(z)=z beweisen können. Allerdings stoße ich nun auf das n im Exponenten und weiß nicht, wie ich dieses behandeln soll. Was meint ihr?
2. Nach der Definition gilt für die komplexe Ableitung :
[mm] f'(z)=\limes_{z\rightarrow\ z_{0}}\bruch{z^{n}-z_{0}^{n}}{z-z_{0}}
[/mm]
Aber das hilft mir wirklich nicht weiter. Es soll aber "per defintion" lösbar sein. Wer weiß mehr?
Vielen Dank!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:32 Fr 10.11.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Gegeben sei die Funktion [mm]f(z)=z^{n}.[/mm]
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> 1. Zeigen Sie, dass f komplex differenzierbar ist.
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> 2. Zeigen Sie, dass für die Ableitung gilt:
> [mm]\bruch{\partial}{\partial z}z^{n}=n\*z^{n-1}[/mm]
> Hallo!
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> 1. Mein Ansatz wäre, dass ich zeige:
>
> [mm]\bruch{\partial}{\partial \overline{z}}z^{n}=\bruch{1}{2}( \bruch{\partial}{\partial x}+i \bruch{\partial}{\partial y})(x+iy)^{n}=0[/mm]
> ,
>
> denn so habe ich es auch für f(z)=z beweisen können.
> Allerdings stoße ich nun auf das n im Exponenten und weiß
> nicht, wie ich dieses behandeln soll. Was meint ihr?
Mach es doch genauso wie in 2.: Per Definition ist $f$ in [mm] $z_0$ [/mm] doch genau dann komplex diffbar, wenn der Differenzenquotient konvergiert.
> 2. Nach der Definition gilt für die komplexe Ableitung :
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> [mm]f'(z)=\limes_{z\rightarrow\ z_{0}}\bruch{z^{n}-z_{0}^{n}}{z-z_{0}}[/mm]
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> Aber das hilft mir wirklich nicht weiter. Es soll aber "per
> defintion" lösbar sein. Wer weiß mehr?
Es ist doch $(x - y) [mm] \sum_{k=0}^{n-1} x^k y^{n-k} [/mm] = [mm] x^n [/mm] - [mm] y^n$ [/mm] fuer beliebige komplexe Zahlen $x, y [mm] \in \IC$. [/mm] Insofern ist [mm] $\frac{z^n - z_0^n}{z - z_0} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{n-1} z^k z_0^{n-k}$. [/mm] Kommst du damit weiter?
LG Felix
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