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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:57 Mo 14.05.2007 | | Autor: | cutter |
| Aufgabe | | Zeigen Sie: Eine Funktion f ist genau dann auf der reellen Achse reellwertig, wenn [mm] f(z)=\overline{f(\overline{z})} [/mm] |
Hi ich weiss garnicht mit welchem Satz ich hier anfangen soll...kann mir einer einen Hinweis geben....?
Grueße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:20 Mo 14.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo cutter,
> Zeigen Sie: Eine Funktion f ist genau dann auf der reellen
> Achse reellwertig, wenn [mm]f(z)=\overline{f(\overline{z})}[/mm]
> Hi ich weiss garnicht mit welchem Satz ich hier anfangen
> soll...kann mir einer einen Hinweis geben....?
ist $z [mm] \in \IC$ [/mm] eine beliebige komplexe Zahl, so gilt $z [mm] \in \IR$ [/mm] genau dann, wenn $z = [mm] \overline{z}$ [/mm] ist. Daraus folgt direkt deine Aussage.
Dazu: schreibe $z = a + i b$ mit $a, b [mm] \in \IR$. [/mm] Dann ist [mm] $\overline{z} [/mm] = a - i b$, und somit $z = [mm] \overline{z} \Longleftrightarrow [/mm] a + i b = a - i b [mm] \Longleftrightarrow [/mm] a = a [mm] \wedge [/mm] b = -b [mm] \Longleftrightarrow [/mm] b = 0 [mm] \Longleftrightarrow [/mm] z = a [mm] \in \IR$.
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:10 Mo 14.05.2007 | | Autor: | cutter |
Hi und warum wird hier noch [mm] \overline{f} [/mm] gefordert ?...das muss doch auch einen sinn ergeben oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:18 Mo 14.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Hi und warum wird hier noch [mm]\overline{f}[/mm] gefordert ?...das
> muss doch auch einen sinn ergeben oder?
Ah, sorry, ich seh grad das ich mich ein wenig verlesen habe :)
Es ist wahrscheinlich $f : [mm] \IC \to \IC$ [/mm] eine Funktion? Und $f(z) = [mm] \overline{f(\overline{z})}$ [/mm] soll fuer alle $z [mm] \in \IC$ [/mm] gelten?
Ist $f$ etwa holomorph? Ansonsten macht das wenig Sinn.
Also dass aus $f(z) = [mm] \overline{f(\overline{z})}$ [/mm] fuer alle $z [mm] \in \IC$ [/mm] folgt, dass $f$ auf der reellen Achse reellwertig ist, sollte klar sein, oder?
Nun zur anderen Richtung. Wenn $f$ auf der reellen Achse reellwertig ist, hast du fuer jedes [mm] $z_0 \in \IR$ [/mm] eine Potenzreihenentwicklung $f(z) = [mm] \sum_{k=0}^\infty a_k [/mm] (z - [mm] z_0)^k$ [/mm] mit [mm] $a_k \in \IR$ [/mm] (kannst du das nachvollziehen?). Damit folgt sofort, dass [mm] $\overline{f(\overline{z})} [/mm] = f(z)$ ist in einer Umgebung der $x$-Achse.
Wegen des Identitaetssatzes muessen diese zwei holomorphen Funktionen dann ueberall uebereinstimmen. (Ueberleg dir dazu auch, warum zu jeder holomorphen Funktion $f$ auch die Funktion $g(z) := [mm] \overline{f(\overline{z})}$ [/mm] holomorph ist.)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:32 Mo 14.05.2007 | | Autor: | cutter |
Hi felix
ja f ist holomorph,sonst machts echt keinen sinn.
Die Potenzreihenentwicklung seh ich ein und dann kann man die Konjugation in die Reihe ziehen,da die Konj. stetig ist.seh ich das richtig?
Warum ist die hinrichtung so trivial ?...was seh ich gerade nicht ?
grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:46 Mo 14.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hi!
> ja f ist holomorph,sonst machts echt keinen sinn.
> Die Potenzreihenentwicklung seh ich ein und dann kann man
> die Konjugation in die Reihe ziehen,da die Konj. stetig
> ist.seh ich das richtig?
Genau!
> Warum ist die hinrichtung so trivial ?...was seh ich
> gerade nicht ?
Wenn $z [mm] \in \IR$ [/mm] ist, so gilt [mm] $\overline{z} [/mm] = z$. Also ist $f(z) = [mm] \overline{f(\overline{z})} [/mm] = [mm] \overline{f(z)}$ [/mm] fuer alle $z [mm] \in \IR$, [/mm] womit $f(z) [mm] \in \IR$ [/mm] ist fuer alle $z [mm] \in \IR$.
[/mm]
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:36 Mo 14.05.2007 | | Autor: | cutter |
ah ....natuerlich ...habe nicht aufgepasst,danke schoen ...
die restliche begruendung stimmt von mir ?
Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:12 Mo 14.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo cutter!
> ah ....natuerlich ...habe nicht aufgepasst,danke schoen
> ...
> die restliche begruendung stimmt von mir ?
Ich wuerd sagen, ja.
LG Felix
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