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Forum "Rationale Funktionen" - Komplexaufgabe f_t(x)
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Komplexaufgabe f_t(x): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:43 Di 03.03.2009
Autor: TeamBob

Aufgabe
[mm] f_t(x)= \bruch{4x-2t}{x^2} [/mm]   mit t > 0 und x [mm] \not=0 [/mm]
Schnittpunkte Koordiantenachsen
Hoch-Tief-Wendepunkte
Asymptoten
P(3;8/9) wird an [mm] f_2(x) [/mm] die Tangente gelegt. Tangentengleichung?

Hi
Ich hoffe ihr helft mir wieder und verbessert mich.
danke

Schnittpunkt x-Achse:
0=4x-2t  /+2t ; :4
x=t/2

Schnittpunkt mit y-achse:
gibts nicht weil division durch 0 nicht definiert.

Asymptoten:
senkrechte: y=0
schräge, waagerechte?

Ableitungen:
[mm] f'(x)=(u'v-uv')/v^2 [/mm]
u=4x-2t
u'=4
[mm] v=x^2 [/mm]
v'2x

[mm] f'(x)=\bruch{(4x^2)-(4x-2t)2x}{x^4} [/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{-4x^2 + 4tx}{x^4} [/mm]

        
Bezug
Komplexaufgabe f_t(x): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:48 Di 03.03.2009
Autor: fred97


> [mm]f_t(x)= \bruch{4x-2t}{x^2}[/mm]   mit t > 0 und x [mm]\not=0[/mm]
>  Schnittpunkte Koordiantenachsen
>  Hoch-Tief-Wendepunkte
>  Asymptoten
>  P(3;8/9) wird an [mm]f_2(x)[/mm] die Tangente gelegt.
> Tangentengleichung?
>  Hi
>  Ich hoffe ihr helft mir wieder und verbessert mich.
>  danke
>  
> Schnittpunkt x-Achse:
>  0=4x-2t  /+2t ; :4
>  x=t/2
>  


O.K.


> Schnittpunkt mit y-achse:
>  gibts nicht weil division durch 0 nicht definiert.


O.K.



>  
> Asymptoten:
>  senkrechte: y=0

Die waagrechte Asymptote ist die Gerade y=0
Die senkrechte Asymptote ist die Gerade x=0



>  schräge, waagerechte?
>  
> Ableitungen:
>  [mm]f'(x)=(u'v-uv')/v^2[/mm]
>  u=4x-2t
>  u'=4
>  [mm]v=x^2[/mm]
>  v'2x
>  
> [mm]f'(x)=\bruch{(4x^2)-(4x-2t)2x}{x^4}[/mm]
>  [mm]f'(x)=\bruch{-4x^2 + 4tx}{x^4}[/mm]  



O.K.

FRED

Bezug
                
Bezug
Komplexaufgabe f_t(x): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:56 Di 03.03.2009
Autor: TeamBob

was ist mit den schrägen asymptoten und wie kommt du
auf y=0 bzw. x=0

Extrema:
[mm] 0=-4x^2 [/mm] + 4tx   /:4;*(-1)
[mm] =x^2 [/mm] - tx      /p,q
[mm] =\bruch{t}{2} [/mm] +- [mm] \wurzel{\bruch{t}{4}} [/mm]
[mm] x_1=\bruch{t}{2}+\wurzel{\bruch{t}{4}} [/mm]
[mm] x_2=\bruch{t}{2}-\wurzel{\bruch{t}{4}} [/mm]



Bezug
                        
Bezug
Komplexaufgabe f_t(x): Korrekturen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:00 Di 03.03.2009
Autor: Loddar

Hallo TeamBob!


> was ist mit den schrägen asymptoten

Gibts hier nicht ...


> und wie kommt du auf y=0 bzw. x=0

Die zweite hast Du doch selber ermittelt mit der Definitionslücke bei $x \ = \ 0$ .

Die waagerechte Asymptote $y \ = \ 0$ erhältst Du durch die Grenzwertbetrachtung [mm] $x\rightarrow\pm\infty$ [/mm] .



> Extrema:
> [mm]0=-4x^2[/mm] + 4tx   /:4;*(-1)
> [mm]=x^2[/mm] - tx      /p,q

[ok] Aber MBp/q-Formel ist hier unnötig. Klammere $x_$ aus.


> [mm]=\bruch{t}{2}[/mm] +- [mm]\wurzel{\bruch{t}{4}}[/mm]

[notok] Unter der Wurzel muss es [mm] $\bruch{t^{\red{2}}}{4}$ [/mm] heißen.


Gruß
Loddar


Bezug
                                
Bezug
Komplexaufgabe f_t(x): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:19 Di 03.03.2009
Autor: TeamBob

Extrema:
[mm] 0=-x^2 [/mm] - tx  
0=x(x - t)

[mm] x_1=0 [/mm]
[mm] x_2=t [/mm]


Ableitung:
[mm] f'(x)=\bruch{-4x^2 + 4tx}{x^4} [/mm]
[mm] u=-4x^2 [/mm] + 4tx
u'=-8x+4t
[mm] v=x^4 [/mm]
[mm] v'=4x^3 [/mm]

[mm] f''(x)=\bruch{((-8x+4t)(x^4) - ((4x^2 + 4tx)4x^3)}{x^8} [/mm]
[mm] f''(x)=\bruch{-8x^5+4tx^4 - 16x^5 - 12tx}{x^8} [/mm]
[mm] f''(x)=\bruch{24x^5 - 8tx}{x^8} [/mm]

Bezug
                                        
Bezug
Komplexaufgabe f_t(x): noch mehr Korrekturen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:30 Di 03.03.2009
Autor: Loddar

Hallo TeamBob!


> Extrema:
> [mm]0=-x^2[/mm] - tx  

Da ist ein Minuszeichen zuviel!


> 0=x(x - t)

[ok]


> [mm]x_1=0[/mm]

Und was ist damit? Ist dieser Wert zulässig?


>  [mm]x_2=t[/mm]

[ok]

  

> Ableitung:
> [mm]f'(x)=\bruch{-4x^2 + 4tx}{x^4}[/mm]

Liest Du eigentlich auch die Hinweise, wenn man sie dir gibt?

In diesem Falle solltest Du zunächst $x_$ ausklammern und kürzen!

Hier kann man auch noch die $4_$ ausklammern und vor den Bruch schreiben.

Die andere (einfachere) Variante, auf welche wir schon mehrfach verwiesen haben, ignorierst Du ja sehr gekonnt. von daher erspare ich den Hinweis mir und Dir und allen anderen ...


> [mm]u=-4x^2[/mm] + 4tx
> u'=-8x+4t
> [mm]v=x^4[/mm]
> [mm]v'=4x^3[/mm]
>  
> [mm]f''(x)=\bruch{((-8x+4t)(x^4) - ((4x^2 + 4tx)4x^3)}{x^8}[/mm]  

Jetzt schon kürzen! Und es fehlt beim hinteren Term im Zähler schon ein Minuszeichen.


Gruß
Loddar


Bezug
                                                
Bezug
Komplexaufgabe f_t(x): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:38 Di 03.03.2009
Autor: TeamBob

ok also stimmt die erste Ableitung?
[mm] f'(x)=\bruch{-4x^2 + 4tx}{x^4} [/mm]

So dann klammere ich mal x aus

[mm] f'(x)=4\bruch{x(-x+t)}{x(x^3)} [/mm]
dann = 4 [mm] \bruch{-x+t}{x^3} [/mm]

dann würde das die zweite Ableitung so lauten:
u=-x+t
u'=-1
[mm] v=x^3 [/mm]
[mm] v'=3x^2 [/mm]

[mm] f''(x)=\bruch{-x^3 - ((-x+t)(3x^2))}{x^6} [/mm]

      = [mm] \bruch{x^3 + 3x^3 - 3tx^2}{x^6} [/mm]

Bezug
                                                        
Bezug
Komplexaufgabe f_t(x): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:42 Di 03.03.2009
Autor: fred97


> ok also stimmt die erste Ableitung?
>   [mm]f'(x)=\bruch{-4x^2 + 4tx}{x^4}[/mm]
>  
> So dann klammere ich mal x aus
>  
> [mm]f'(x)=4\bruch{x(-x+t)}{x(x^3)}[/mm]
>  dann = 4 [mm]\bruch{-x+t}{x^3}[/mm]
>  
> dann würde das die zweite Ableitung so lauten:
>  u=-x+t
>  u'=-1
>  [mm]v=x^3[/mm]
>  [mm]v'=3x^2[/mm]
>  
> [mm]f''(x)=\bruch{-x^3 - ((-x+t)(3x^2))}{x^6}[/mm]
>  
> = [mm]\bruch{x^3 + 3x^3 - 3tx^2}{x^6}[/mm]  




Das ist falsch ! Rechne nochmal, vegiss den Faktor 4 nicht und kürze am Ende (wie Dir schon ein paar mal gerten wurde)

FRED

Bezug
                                                                
Bezug
Komplexaufgabe f_t(x): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:45 Di 03.03.2009
Autor: TeamBob

was genau ist den falsch? die erste oder die zweite oder wo genau liegt den der fehler?

Bezug
                                                                        
Bezug
Komplexaufgabe f_t(x): 1. Ableitung korrekt
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:06 Di 03.03.2009
Autor: Loddar

Hallo TeamBob!


Die 1. Ableitung ist okay.

Bei der 2. Ableitung fasst Du falsch zusammen im Zähler. Außerdem hast Du den Faktor 4 vor dem Bruch vergessen.


Gruß
Loddar


Bezug
                                                                                
Bezug
Komplexaufgabe f_t(x): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:10 Di 03.03.2009
Autor: TeamBob

aber wo genau fasse ich denn im Zähler falsch zusammen?

Bezug
                                                                                        
Bezug
Komplexaufgabe f_t(x): Minuszeichen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:12 Di 03.03.2009
Autor: Loddar

Hallo TeamBob!


Du unterschlägst ein Minuszeichen vor dem ersten [mm] $x^3$ [/mm] .


Gruß
Loddar


Bezug
                                                                                                
Bezug
Komplexaufgabe f_t(x): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:25 Di 03.03.2009
Autor: TeamBob

ach so also [mm] f''(x)=4(\bruch{2x^3-3tx^2}{x^6}) [/mm]    / kürzen

[mm] =4(\bruch{2x-3t}{x^4}) [/mm]

Extrema:
0=f'(x)
[mm] 0=4(\bruch {-x+t}{x^3}) [/mm]
[mm] x_1= [/mm] t

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Komplexaufgabe f_t(x): so stimmt's
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:28 Di 03.03.2009
Autor: Loddar

Hallo TeamBob!


[daumenhoch]


Gruß
Loddar


Bezug
                                                                                                                
Bezug
Komplexaufgabe f_t(x): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:33 Di 03.03.2009
Autor: TeamBob

Wendepunkte:
[mm] 0=4(\bruch{2x-3t}{x^4}) [/mm]
0=2x-3t   /+3t ; :2
[mm] x=\bruch{3t}{2} [/mm]

Bezug
                                                                                                                        
Bezug
Komplexaufgabe f_t(x): richtig
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:34 Di 03.03.2009
Autor: Loddar

Hallo TeamBob!


[ok] Aber zu einem Wendepunkt gehört auch noch eine y-Koordinate.


Gruß
Loddar


Bezug
                                                                                                                                
Bezug
Komplexaufgabe f_t(x): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:59 Di 03.03.2009
Autor: TeamBob

ok also einfach [mm] x=\bruch{3t}{2} [/mm] in die ausgangsgleich einsetzen

[mm] =\bruch{4(\bruch{3t}{2}) - 2t}{(\bruch{3t}{2})^2} [/mm]

[mm] =\bruch{6t-2t}{ \bruch{9t}{4}} [/mm]

[mm] =\bruch{4t}{\bruch{9t}{4}} [/mm]

Bezug
                                                                                                                                        
Bezug
Komplexaufgabe f_t(x): komplexe Komplexaufgabe f_t(x)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:04 Di 03.03.2009
Autor: fred97


> ok also einfach [mm]x=\bruch{3t}{2}[/mm] in die ausgangsgleich
> einsetzen
>  
> [mm]=\bruch{4(\bruch{3t}{2}) - 2t}{(\bruch{3t}{2})^2}[/mm]
>  
> [mm]=\bruch{6t-2t}{ \bruch{9t}{4}}[/mm]
>  
> [mm]=\bruch{4t}{\bruch{9t}{4}}[/mm]  


Das ist falsch.

[mm] (\bruch{3t}{2})^2 [/mm] = [mm] \bruch{9t^2}{4} [/mm]

FRED

Bezug
                                                                                                                                                
Bezug
Komplexaufgabe f_t(x): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:07 Di 03.03.2009
Autor: TeamBob

ok als muss es
$ [mm] =\bruch{4t}{\bruch{9t^2}{4}} [/mm] $  
heißen?
kann man das vereinfachen?

Bezug
                                                                                                                                                        
Bezug
Komplexaufgabe f_t(x): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:10 Di 03.03.2009
Autor: fred97

Wie dividiert man 2 Brüche ?

FRED

Bezug
                                                                                                                                                                
Bezug
Komplexaufgabe f_t(x): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:18 Di 03.03.2009
Autor: TeamBob

[mm] =\bruch{4t}{\bruch{9t^2}{4}} [/mm]

[mm] =\bruch{16}{9t} [/mm]
wenn ich mich nicht irre

Bezug
                                                                                                                                                                        
Bezug
Komplexaufgabe f_t(x): nun richtig
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:19 Di 03.03.2009
Autor: Loddar

Hallo TeamBob!


[ok] So ist es korrekt.


Gruß
Loddar


Bezug
        
Bezug
Komplexaufgabe f_t(x): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:27 Di 03.03.2009
Autor: TeamBob

[mm] f_2(x)= \bruch{4x-4}{x^2} [/mm]     mit t > 0 und x $ [mm] \not=0 [/mm] $

P(3;8/9) wird an $ [mm] f_2(x) [/mm] $ die Tangente gelegt. Tangentengleichung?
Wie genau muss ich den da vorgehen. Ich weis gerade echt nicht wie das geht. das ist die letzte aufgabe. Bitte helft mir weiter.
danke

Bezug
                
Bezug
Komplexaufgabe f_t(x): Formel
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:31 Di 03.03.2009
Autor: Loddar

Hallo TeamBob!


Verwende die formel für die Tangentgleichung an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] :
$$t(x) \ = \ [mm] f'(x_0)*(x-x_0)+f(x_0)$$ [/mm]
Für Dich gilt hier [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 2$ bzw. [mm] $f(x_0) [/mm] \ = \ [mm] f_2(3)$ [/mm] .

Berechne hier also [mm] $f_2'(3)$ [/mm] und setze ein.


Gruß
Loddar


Bezug
                        
Bezug
Komplexaufgabe f_t(x): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:34 Di 03.03.2009
Autor: TeamBob

t(x) =  [mm] f'(x_0)\cdot{}(x-x_0)+f(x_0) [/mm]

Ich verstehe das gerade gar nicht was ich berechnen soll und was nicht.
Was ist [mm] f(x_0) [/mm] ??

Bezug
                                
Bezug
Komplexaufgabe f_t(x): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:36 Di 03.03.2009
Autor: fred97

Die gesuchte Tangente hat die Steigung [mm] f_2'(3) [/mm] und geht durch P

Kannst Du die Gl. dieser Geraden aufstellen ?

FRED

Bezug
                                
Bezug
Komplexaufgabe f_t(x): erklärt
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:37 Di 03.03.2009
Autor: Loddar

Hallo TeamBob!


> Was ist [mm]f(x_0)[/mm] ??

Das habe ich oben doch alles aufgeschrieben.


Gruß
Loddar



Bezug
                                        
Bezug
Komplexaufgabe f_t(x): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:39 Di 03.03.2009
Autor: TeamBob

Wie kommt ihr denn auf 3...?
ich verstehe das gerade echt nicht...
Könntet ihr es mir ganz langsam erklären...ist schließlich das letzte

Bezug
                                                
Bezug
Komplexaufgabe f_t(x): aufmerksam lesen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:42 Di 03.03.2009
Autor: Loddar

Hallo TeamBob!


Deine eigenen Aufgabenstellungen musst Du schon aufmerksam durchlesen.
Schließlich ist dort ein Punkt $P \ [mm] \left( \ \red{3} \ ; \ \bruch{8}{9} \ \right)$ [/mm] erwähnt.


Gruß
Loddar


PS: Konzentriere Dich vielleicht nur auf eine Aufgabe, und nicht mehrere gleichzeitig!


Bezug
                                                        
Bezug
Komplexaufgabe f_t(x): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:46 Di 03.03.2009
Autor: TeamBob

ja aber ich weis jetzt nicht was ich wie einsetzten soll
    t(x) \ = \ [mm] f'(x_0)\cdot{}(x-x_0)+f(x_0) [/mm]
also muss ich [mm] f'(x_0) [/mm] = dort muss ich 3 in die erste Ableitung einsetzen oder wie?
[mm] f(x_0) [/mm] dort soll ich 3 in die Gleichung einsetzen?

Bezug
                                                                
Bezug
Komplexaufgabe f_t(x): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:47 Di 03.03.2009
Autor: fred97

Ja, [mm] x_0 [/mm] = 3






Für heute verabschiede ich mich von den vielen komplexen Komplexaufgaben


FRED

Bezug
                                                                        
Bezug
Komplexaufgabe f_t(x): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:52 Di 03.03.2009
Autor: TeamBob

und was genau muss ich mit den x tun was da noch ist... danach umstellen oder wie?


Bezug
                                                                                
Bezug
Komplexaufgabe f_t(x): Geradengleichung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:55 Di 03.03.2009
Autor: Loddar

Hallo TeamBob!


Gesucht ist doch eine Geradengleichung, die am Ende die Form $y \ = \ m*x+b$ hat.
Dort taucht also genau dieses $x_$ als Variable auf.


Gruß
Loddar


Bezug
                                                                                        
Bezug
Komplexaufgabe f_t(x): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:04 Di 03.03.2009
Autor: TeamBob

dann würde es doch wie folgt aussehen:

f'_2(3)= 4 [mm] \bruch {-3+2}{3^3} [/mm]
= [mm] \bruch{-4}{27} [/mm]

[mm] f_2(3)= \bruch{4*3-2*2}{3^2} [/mm]
= [mm] \bruch{8}{9} [/mm]

und das dann alles einsetzten:
[mm] -\bruch{4}{27} [/mm] * (x-3) + [mm] \bruch{8}{9} [/mm]
[mm] -\bruch{4}{27}x [/mm] + [mm] \bruch{12}{27}+\bruch{8}{9} [/mm]
[mm] -\bruch{4}{27}x [/mm] + [mm] \bruch{4}{3} [/mm]

Bezug
                                                                                                
Bezug
Komplexaufgabe f_t(x): korrekt
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:10 Di 03.03.2009
Autor: Loddar

Hallo TeamBob!


[daumenhoch] Richtig!


Gruß
Loddar


Bezug
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