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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:26 Sa 06.12.2008 | | Autor: | Hanz |
Huhu,
Wir müssen zeigen, dass sich sinz und cosz für z=x+iy [mm] \in \IC [/mm] mit Hilfe der reellen trigonometrischen und Hyperbelfunktionen wie folgt berechnen lassen:
sin (x+iy) = sinx*coshy + icosx*sinhy und
cos (x+iy) = cosx*coshy - isinx*sinhy
Zudem sollen wir folgern, dass Sinus und Kosinus in [mm] \IC [/mm] außer den bekannten reellen Nullstellen keine weiteren Nullstellen besitzt.
Hinweis: Additionstheoreme, sin iy und cos iy durch reelle Hyperbelfunktionen ausdrücken.
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So, wende ich nun das Sinus Additionstheorem an erhalte ich:
sin (x+iy) = sinx*cosiy + cosx*siniy
Nach Definition gilt:
sinhx = [mm] \bruch{1}{2}(e^{x}-e^{-x}) [/mm] = -i sin(ix)
coshx = [mm] \bruch{1}{2}(e^{x}+e^{-x}) [/mm] = cos(ix)
Somit kann ich das rote cosiy zu coshy umschreiben und erhalte:
= sinx*coshy + cosx*siniy
Wie ich das blaue aber nun umreiben muss ist mir nicht klar...
Mfg, Der Hanz
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Hallo Hanz,
> Huhu,
> Wir müssen zeigen, dass sich sinz und cosz für z=x+iy [mm]\in \IC[/mm]
> mit Hilfe der reellen trigonometrischen und
> Hyperbelfunktionen wie folgt berechnen lassen:
>
> sin (x+iy) = sinx*coshy + icosx*sinhy und
> cos (x+iy) = cosx*coshy - isinx*sinhy
>
> Zudem sollen wir folgern, dass Sinus und Kosinus in [mm]\IC[/mm]
> außer den bekannten reellen Nullstellen keine weiteren
> Nullstellen besitzt.
>
> Hinweis: Additionstheoreme, sin iy und cos iy durch reelle
> Hyperbelfunktionen ausdrücken.
>
> ----------------------------------------------------------------------------------------
>
> So, wende ich nun das Sinus Additionstheorem an erhalte
> ich:
> sin (x+iy) = sinx*cosiy + cosx*siniy
>
> Nach Definition gilt:
> sinhx = [mm]\bruch{1}{2}(e^{x}-e^{-x})[/mm] = -i sin(ix)
> coshx = [mm]\bruch{1}{2}(e^{x}+e^{-x})[/mm] = cos(ix)
>
> Somit kann ich das rote cosiy zu coshy umschreiben und
> erhalte:
> = sinx*coshy + cosx*siniy
>
> Wie ich das blaue aber nun umreiben muss ist mir nicht
> klar...
Multipliziere diese Gleichung mit "i" durch:
sinhx = -i sin(ix)
Dann steht das schon da, was Du haben willst.
>
> Mfg, Der Hanz
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:17 So 07.12.2008 | | Autor: | Hanz |
Hmmm, verstehe ich nicht ganz, ich habe da doch nur sinx*coshy + cosx*siniy stehen und kein sinhy?
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Hallo Hanz,
> Hmmm, verstehe ich nicht ganz, ich habe da doch nur
> sinx*coshy + cosx*siniy stehen und kein sinhy?
Du brauchst diese Definiton
[mm]\sinh\left(x\right) = -i \sin\left(ix\right)[/mm]
um den [mm]\sin\left(ix\right)[/mm] ersetzen zu können.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:40 So 07.12.2008 | | Autor: | Hanz |
Also....
sinx*coshy + cosx*siniy |*(-i)
= -i*(sinx*coshy) + (cosx*siniy)*(-i)
= -i*(sinx*coshy) + (cosx*sinhy |*i
= sinx*coshy + i*cosx*sinhy
so?
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Hallo Hanz,
> Also....
>
>
> sinx*coshy + cosx*siniy |*(-i)
> = -i*(sinx*coshy) + (cosx*siniy)*(-i)
> = -i*(sinx*coshy) + (cosx*sinhy |*i
> = sinx*coshy + i*cosx*sinhy
>
>
> so?
Das kannst Du auch machen.
Ich meinte aber nur den sin(iy) in
[mm]\sin\left(x+iy\right)=\sin\left(x\right)*\cosh\left(y\right) + \cos\left(x\right)*\sin\left(iy\right)[/mm]
Es gilt
[mm]\sinh\left(x\right)=-i\sin\left(ix\right)[/mm]
Multiplikation mit i liefert:
[mm]i*\sinh\left(x\right)=i*\left(-i\right)\sin\left(ix\right)[/mm]
[mm]\gdw i*\sinh\left(x\right)=-i^{2}\sin\left(ix\right)=\sin\left(ix\right)[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:03 So 07.12.2008 | | Autor: | Hanz |
So, und wie folgere ich daraus, dass Sin und Cos in [mm] \IC [/mm] keine weiteren Nullstellen ausser den reellen hat?
Weil man die komplexen Funktionen zu rellen umschreiben kann?
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Hallo Hanz,
> So, und wie folgere ich daraus, dass Sin und Cos in [mm]\IC[/mm]
> keine weiteren Nullstellen ausser den reellen hat?
>
> Weil man die komplexen Funktionen zu rellen umschreiben
> kann?
So einfach ist das nu wieder nicht.
Betrachte die Gleichung
[mm]\sin\left(x+iy\right)=\sin\left(x\right)*\cosh\left(y\right)+i*\sinh\left(y\right)*\cos\left(x\right)[/mm]
Um eine Nullstelle zu sein, muß
[mm]\sin\left(x\right)*\cosh\left(y\right)=0[/mm]
[mm]\cos\left(x\right)*\sinh\left(y\right)=0[/mm]
Und nun ziehe aus diesen 2 Gleichungen Deine Schlüsse.
Natürlich mußt Du das für den Cosinus genauso machen.
Gruß
MathePower
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