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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:07 Mi 23.11.2011 | | Autor: | unibasel |
| Aufgabe | Sei [mm] n\ge1 [/mm] eine natürliche Zahl. Die Punkte [mm] w_{k}=e^{i\bruch{\pi*k}{n}} [/mm] für k=0,1...,n-1 liegen auf dem Einheitskreis der komplexen Ebene und bilden die Ecken eines n-Ecks.
a) Zeigen Sie, dass die Länge jeder Seite des n-Ecks [mm] 2sin\bruch{\pi}{n} [/mm] beträgt. (insbesondere ist das n-Eck gleichseitig).
b) Sei [mm] U_{n} [/mm] der Umfang des n-Ecks. Zeigen Sie, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}U_{n}=2\pi. [/mm] |
Guten Abend:)
Leider komme ich mit dieser Aufgabe nicht klar. Ich muss sie zwar nicht lösen, aber es interessiert mich, wie man dies zeigen kann.
Ich stelle mir jetzt darunter ein n-Eck so vor:
für n=8 z.b
Mittelpunkt = (0|0)
Auf x-Achse fange ich an mit [mm] w_{0} [/mm] als ersten Punkt und fahre weiter nach oben mit [mm] w_{1}, w_{2} [/mm] befindet sich dann auf der y-Achse usw. --> dies bildet dann ein 8-Eck.
Dabei ist
[mm] w_{0}=1
[/mm]
[mm] w_{2}=i
[/mm]
[mm] w_{4}=-1
[/mm]
[mm] w_{6}=-i
[/mm]
Ich hoffe, ihr könnt euch das 8-Eck vorstellen.
Nun die Seitenlänge wäre dabei: [mm] |w_{k}-w_{k-1}|
[/mm]
Danach muss man noch das hier gebrauchen: |zw|=|z||w| als Regel.
Aber ich habe keine Ahnung, wie ich das zeigen soll. Kan mir jemand helfen?
Vielen Dank.
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:30 Mi 23.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. bitte seh dir deine posts mit vorschau an, ich habs verbessert, aber deine formeln waren nicht lesbar.
1. dass das n Eck gleichseitig ist, liegt daran, dass alle Winkel gleich sind, was einfach zu zeigen ist, da alle w den Betrag 1 haben, und und man von [mm] w_i [/mm] nach [mm] w_{i+1} [/mm] durch multiplikation mit [mm] e^{i*\pi/n} [/mm] kommt.
2. hast du recht, dass du [mm] |w_{i+1}-w_i| [/mm] ausrechnen musst. entwser durch umschreiben mit [mm] e^{ix}=cosx+isinx [/mm] und dann [mm] \sqrt{Re^2+Im^2} [/mm] oder mit [mm] z*\overline{z}
[/mm]
warum machst du das nicht?
konj komplex= an der x achse gespiegelt, aus dem Winkel wird der negative Winkel.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:23 Mi 23.11.2011 | | Autor: | unibasel |
ok dankeschön :) konnte es jetzt ganz lösen.
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