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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:31 Sa 03.12.2005 | | Autor: | Darkz |
Hallo,
wer kann mir folgende Frage beantworten:
welches rechtwinklige Dreieck mit der Hypothenuse 6cm erzeugt bei Rotation um eine Kathete(um die Hypothenuse) den rotationskörper größten Volumens???
Danke schonmal im vorraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:18 Sa 03.12.2005 | | Autor: | jasper |
wenn du mir sagst wie man das volumen von so nem ding ausrechnet, sag ich dir den rest (scheiss ausland, hab das nich mitgemacht :( )
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:14 Sa 03.12.2005 | | Autor: | Darkz |
V= [mm] \bruch{1}{3} \pi*r [/mm] ^{2}*h
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:23 Sa 03.12.2005 | | Autor: | jasper |
schon geklärt
also du bist dir da sicher? müsste in dem fall nicht h und r das gleiche sein?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:47 Sa 03.12.2005 | | Autor: | Darkz |
Nein h = höhe und r = radius!!!!!!!
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Nehmen wir [mm]a,b[/mm] als Katheten und [mm]c=6[/mm] als Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks. Wenn nun das Dreieck um eine Kathete, sagen wir [mm]a[/mm], rotiert, was sind dann [mm]r[/mm] und [mm]h[/mm] des Kegels?
Und beachte den Satz des Pythagoras als Nebenbedingung.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:15 So 04.12.2005 | | Autor: | jasper |
ich dachte es würde um die hypotenuse gedreht, dann bekäme man ein gebilde mit 2 kegeln heraus, aber ich hab es nicht geschafft, bei diesem doppelkegel es auf eine variable herunterzukriegen :(
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:50 So 04.12.2005 | | Autor: | Darkz |
Als das ganze soll um die Kathete gedreht werden
der ansatz lautet:
V= [mm] \bruch{1}{3}\pi*r^{2}*h [/mm] (Vol. eines Kegels)
Satz des Pythagoras:
[mm] h^{2}+r^{2}=36 [/mm] das ganze [mm] -h^{2}
[/mm]
[mm] r^{2}=36-h^{2}
[/mm]
und jetz weiß ich nicht mehr weiter!!!!!
nur das man das ganze in die Volumenformel einsetzen muss aber wie???
Und wie wird das aufgelöst???
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: GIF) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:57 So 04.12.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo darkz
> Als das ganze soll um die Kathete gedreht werden
>
> der ansatz lautet:
> V= [mm]\bruch{1}{3}\pi*r^{2}*h[/mm] (Vol. eines Kegels)
>
> Satz des Pythagoras:
> [mm]h^{2}+r^{2}=36[/mm] das ganze [mm]-h^{2}[/mm]
> [mm]r^{2}=36-h^{2}[/mm]
>
> und jetz weiß ich nicht mehr weiter!!!!!
> nur das man das ganze in die Volumenformel einsetzen muss
> aber wie???
einfach einsetzen V= [mm]\bruch{1}{3}\pi*r^{2}*h[/mm]
[mm]V= \bruch{1}{3}\pi*(36-h^2)*h[/mm]
Und jetzt musst du nur V nach h differenzieren und die Ableitung Null setzen.
Am besten erst noch h in die Klammer reinmult. sonst ist das ableiten umständlicher!
Gruss leduart
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Hallo Darkz,
> welches rechtwinklige Dreieck mit der Hypothenuse 6cm
> erzeugt bei Rotation um die Hypothenuse
> den rotationskörper größten Volumens???
Ich habe mir gedacht, man könnte das Problem durch Integration lösen.
Zuerst definieren wir uns zwei Geraden:
[mm] $g_1\left(x\right) [/mm] := ax$
und
[mm] $g_2\left(x\right) [/mm] := [mm] -\frac{1}{a}x [/mm] + [mm] c,\quad [/mm] a,c [mm] \in \mathbb{R}^+$
[/mm]
Diese Geraden stehen senkrecht aufeinander und schließen deshalb eine Fläche ein, die ein rechtwinkliges Dreieck ist. Der x-Achsen-Abschnitt zwischen den Nullstellen der beiden Geraden ist die Hypothenuse:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Jetzt drehen wir dieses Dreieck um die x-Achse. Das Volumen des so entstehenden Körpers setzt sich zusammen aus dem senkrechten Kreiskegel, der von 0 bis zur Schnittstelle von [mm] $g_1$ [/mm] und [mm] $g_2$ [/mm] gebildet wird, und einem anderen Kreiskegel, der von dieser Schnittstelle bis zur Nullstelle von [mm] $g_2$ [/mm] reicht.
Bestimmen wir zuerst die Schnittstelle:
[mm] $g_1\left(x_S\right) [/mm] = [mm] g_2\left(x_S\right) \gdw ax_S [/mm] = [mm] -\frac{1}{a}x_S [/mm] + c$
[mm] $\gdw a^2x_S [/mm] + [mm] x_S [/mm] = ac [mm] \gdw x_S [/mm] = [mm] \frac{ac}{a^2 + 1}$
[/mm]
Jetzt benutzen wir das x-Achsen-Rotationsintegral. Das Volumen des gesuchten Körpers setzt sich damit aus den Volumen der oben beschriebenen Kegel zusammen:
[mm]V = \pi\int\limits_{0}^{x_S}{g_1^2\left(x\right)\mathrm{d}x} + \pi\int\limits_{x_S}^{ac}{g_2^2\left(x\right)\mathrm{d}x}[/mm]
Jetzt setzen wir ein, und integrieren:
[mm]\begin{gathered}
V = a^2 \pi \int\limits_0^{x_S } {x^2 } \mathrm{d}x + \pi \int\limits_{x_S }^{ac} {\left( { - \frac{1}
{a}x + c} \right)^2 } \mathrm{d}x \hfill \\
= a^2 \pi \int\limits_0^{x_S } {x^2 } \mathrm{d}x + \pi \int\limits_{x_S }^{ac} {\left( {\frac{{x^2 }}
{{a^2 }} - \frac{{2cx}}
{a} + c^2 } \right)} \mathrm{d}x \hfill \\
= a^2 \pi \left[ {\frac{{x^3 }}
{3}} \right]_0^{x_S } + \pi \left[ {\frac{1}
{{a^2 }}\int\limits_{x_S }^{ac} {x^2 } \mathrm{d}x - \frac{{2c}}
{a}\int\limits_{x_S }^{ac} x \mathrm{d}x + c^2 \int\limits_{x_S }^{ac} 1 \mathrm{d}x} \right] \hfill \\
= a^2 \pi \left[ {\frac{{x^3 }}
{3}} \right]_0^{x_S } + \pi \left[ {\frac{1}
{{a^2 }}\left[ {\frac{{x^3 }}
{3}} \right]_{x_S }^{ac} - \frac{{2c}}
{a}\left[ {\frac{{x^2 }}
{2}} \right]_{x_S }^{ac} + c^2 \left[ x \right]_{x_S }^{ac} } \right] \hfill \\
= a^2 \pi \frac{{x_S^3 }}
{3} + \pi \left[ {\frac{1}
{{a^2 }}\left( {\frac{{a^3 c^3 }}
{3} - \frac{{x_S^3 }}
{3}} \right) - \frac{{2c}}
{a}\left( {\frac{{a^2 c^2 }}
{2} - \frac{{x_S^2 }}
{2}} \right) + c^2 \left( {ac - x_S } \right)} \right] \hfill \\
= a^2 \pi \frac{{x_S^3 }}
{3} + \pi \frac{{ac^3 }}
{3} - \pi \frac{{x_S^3 }}
{{a^2 3}} - \pi ac^3 + \pi \frac{{cx_S^2 }}
{a} + \pi ac^3 - \pi x_S c^2 \hfill \\
= a^2 \pi \frac{{x_S^3 }}
{3} + \pi \frac{{ac^3 }}
{3} - \pi \frac{{x_S^3 }}
{{3a^2 }} + \pi \frac{{x_S^2 c}}
{a} - \pi x_S c^2 \hfill \\
= a^2 \pi \frac{{\left( {\frac{{ac}}
{{a^2 + 1}}} \right)^3 }}
{3} + \pi \frac{{ac^3 }}
{3} - \pi \frac{{\left( {\frac{{ac}}
{{a^2 + 1}}} \right)^3 }}
{{3a^2 }} + \pi \frac{{\left( {\frac{{ac}}
{{a^2 + 1}}} \right)^2 c}}
{a} - \pi \frac{{ac}}
{{a^2 + 1}}c^2 \hfill \\
= \frac{{\pi a^5 c^3 }}
{{3\left( {a^2 + 1} \right)^2 }} \hfill \\
\end{gathered}[/mm]
Tja, und hier bin ich nun auch nicht weitergekommen. ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]") c ist ja bekannt, aber die Extremwerte von [mm] $V\left(a\right)$ [/mm] zu betrachten macht irgendwie keinen Sinn, weil dann a = 0 rauskommt. Ich habe aber ein wenig im Netz geguckt, und ![[]](/images/popup.gif) folgende Diskussion dazu entdeckt... . Hatte jetzt aber keine Lust mehr, die dortigen Ansätze auszuprobieren.
Grüße
Karl
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:49 Mo 05.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Darkz!
Für die Drehung um die Hypotenuse möchte ich Dir mal einen Alternativweg zu Karl's (richtiger!) Lösung aufzeigen ...
Und zwar verwende ich hier den im rechtwinkligen Dreieck gültigen Höhensatz : [mm] $h^2 [/mm] \ = \ p*q$ .
Dabei ist $h \ = \ [mm] h_C$ [/mm] die Höhe auf die Hypotenuse und $p_$ und $q_$ die entsprechenden Hypotenusenabschnitte unterhalb der Katheten.
Unser gesamter Rotationskörper setzt sich aus zwei zusammengesetzten Kreiszylindern zusammen:
[mm] $V_{gesamt} [/mm] \ = \ [mm] V_1 [/mm] + [mm] V_2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{3}*\pi*r^2*h_1 [/mm] + [mm] \bruch{1}{3}*r^2*h_2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\pi}{3}*r^2*(h_1+h_2)$
[/mm]
Übertragen auf unsere Bezeichnungen des rechtwinkligen Dreieckes / Höhensatzes ergibt sich daraus:
$V \ = \ [mm] \bruch{\pi}{3}*\red{h_C^2}*(\blue{p+q})$
[/mm]
Nun setzen wir ein: [mm] $\red{h_C^2} [/mm] \ = \ p*q$ bzw. [mm] $\blue{p+q} [/mm] \ = \ 6$
$V \ = \ [mm] \bruch{\pi}{3}*\red{p*q}*\blue{6} [/mm] \ =\ [mm] 2\pi*p*q$
[/mm]
Und nun verwenden wir nochmal die gegebene Hypotenusenlänge:
$c \ = \ p+q \ = \ 6$ [mm] $\gdw$ [/mm] $q \ = \ 6-p$
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $V(p) \ = \ [mm] 2\pi*p*(6-p) [/mm] \ = \ [mm] 2\pi*\left(6p-p^2\right)$
[/mm]
Die entsprechende Extremwertberechnung liefert dann:
$p \ = \ q \ = \ 3$ sowie [mm] $h_C [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{p*q} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{3*3} [/mm] \ = \ 3$
Bei dem rechtwinkligen Dreicke mit maximalem Rotationsvolumen handelt es sich also um ein gleichschenkliges recchtwinkliges Dreieck (siehe auch Karl's Lösung).
Gruß
Loddar
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![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]"){kind=small}
![[hot]](/images/smileys/hot.gif "[hot]"){kind=small}
