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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:29 Mi 19.03.2014 | | Autor: | Boastii |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung:
[mm] z^3 = 2 [/mm] |
Grüßt Euch,
nun ich habe irgendwie keine Ahnung wie ich da rann gehen soll. Mir ist klar dass es eine Lösung gibt - eine reelle - [mm] z_1 = \wurzel[3]{2} [/mm]. Mir ist nur schleierhaft wie ich auf die andern beiden komplexen Lösungen kommen kann..
Ich hoffe Ihr könnt mir da weiterhelfen.
Lg Boastii
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Hallo,
hast du die Gleichung [mm] z^n=a [/mm] so ergibt sich als Lösung:
[mm] z_k=\sqrt[n]{|a|}\exp\left(\frac{i\phi+2\pi ik}{n}\right)
[/mm]
wobei natürlich k=0,1,2,...,n-1
Alternativ könnte man auch den Ansatz über z=a+ib wählen. Doch die anschließenden Rechnungen sind wohl sehr unangenehm.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:13 Mi 19.03.2014 | | Autor: | Boastii |
Okay vielen Dank soweit,
ich werde nun versuchen das anzuwenden:
[mm] z^n = a [/mm]
nun sei bei meiner Aufgabe [mm] n=3 , a=2 [/mm]
weiter sei für meine Aufgabe:
[mm] z_0= \wurzel[3]{2} exp(\frac{i \phi }{3}) [/mm]
[mm] z_1= \wurzel[3]{2} exp(\frac{i \phi + 2\pi i }{3}) [/mm]
[mm] z_2= \wurzel[3]{2} exp(\frac{i \phi + 4\pi i }{3}) [/mm]
So aber da ist ja überhaupt nicht die einfache reelle Lösung dabei.
meine Frage wäre jetzt nur, was wäre jetzt hier [mm] \phi [/mm] ?
Lg Boastii
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:21 Mi 19.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
was ist denn das Argument [mm] \phi [/mm] von 2 wenn du [mm] 2=2*e^{i*\phi} [/mm] schreibst. denk dran [mm] \phi [/mm] ist der Winkel zur reellen Achse.
(vielleicht übst du dann noch mal mit [mm] z^3=-2 [/mm] und [mm] z^3=2i [/mm] )
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:14 Do 20.03.2014 | | Autor: | Boastii |
Guten Tag,
danke erstmal für eure Antworten.
Also damit
[mm] 2 = 2 * e^{ i \phi } [/mm] gilt, muss [mm] e^{i \phi} = 1 [/mm] sein, und das geht meiner Meinung nach nur wenn [mm] \phi = 0 [/mm] ist. ?
wie kann ich denn Phi allgemein berechnen?
Wünsche Euch noch einen schönen sonnigen Tag
Mfg
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Hallo Boastii,
> Guten Tag,
> danke erstmal für eure Antworten.
>
> Also damit
> [mm]2 = 2 * e^{ i \phi }[/mm] gilt, muss [mm]e^{i \phi} = 1[/mm] sein, und
> das geht meiner Meinung nach nur wenn [mm]\phi = 0[/mm] ist. ?
>
> wie kann ich denn Phi allgemein berechnen?
>
Nun, da die Exponentialfunktion im Komplexen periodisch ist,
ergeben sich die Lösungen zu:
[mm]\phi_{k}=2*k*\pi, \ k \in \IZ[/mm]
> Wünsche Euch noch einen schönen sonnigen Tag
> Mfg
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:46 Do 20.03.2014 | | Autor: | Boastii |
Guten Tag,
Okay ich habe jetzt auch gesehen das [mm] tan(\phi)= \frac{y}{x} [/mm] gilt, diese Lösung jetzt nur für [mm] tan(\ohi) = 0 [/mm]. Wahrscheinlich oder?
ich werde das jetzt mal versuchen und dann meine Lösung hier präsentieren.
Lg Boastii
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Hallo Boastii,
> Guten Tag,
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> Okay ich habe jetzt auch gesehen das [mm]tan(\phi)= \frac{y}{x}[/mm]
> gilt, diese Lösung jetzt nur für [mm]tan(\ohi) = 0 [/mm].
> Wahrscheinlich oder?
>
Das ist eine Lösung, wenn y=0 und [mm]x\not=0[/mm].
> ich werde das jetzt mal versuchen und dann meine Lösung
> hier präsentieren.
>
> Lg Boastii
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:06 Do 20.03.2014 | | Autor: | Boastii |
Ahh ich glaube ich habe es:
[mm] z^3 = 2 [/mm]
Anwendung der Moivre-Formel:
mit [mm] r= \wurzel{2^2+0^2 } = 2 [/mm]
und [mm] [mm] \phi [/mm] = artan(0/2) + 2k [mm] \pi [/mm] = [mm] 2k\pi[/mm] [mm]
somit sind die Lösungen:
[mm] z_0 = \wurzel[3]{2} * exp(\frac{i*0 + 0*2i\pi}{3}) = \wurzel[3]{2} [/mm]
[mm] z_1= \wurzel[3]{2} * exp(\frac{2i\pi + 2i\pi}{3}) = \wurzel[3]{2}* exp(\frac{4i\pi}{3}) = \wurzel[3]{2} * \wurzel[3]{(-1)^4}= -\wurzel[3]{2}* \wurzel[3]{(-1)} = -\wurzel[3]{2*(-1)} = -\wurzel[3]{-2}[/mm]
[mm] z_2= \wurzel[3]{2} * exp(\frac{8i\pi}{3}) = \wurzel[3]{2} *\wurzel[3]{(-1)^8} = \wurzel[3]{2} *(-1)^{\frac{2}{3}} [/mm]
Ich denke ich habe es verstanden, danke für Eure Mühe und Hilfe.
Liebe Grüße Boastii
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:38 Do 20.03.2014 | | Autor: | Boastii |
Hallo Loddar,
Also ich hatte gedacht das ich das so einfach machen kann da ja [mm] [mm] e^{i\pi} [/mm] = -1 [mm] gilt?
Und wenn man das einsetzt komme ich auf meine Lösungen.
Also ich werde mich nochmal dran setzten und alles neu versuchen.
danke soweit aber :)
MfG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:44 Do 20.03.2014 | | Autor: | Loddar |
Hallo Boastii!
> Also ich hatte gedacht das ich das so einfach machen kann
> da ja [mm]e^{i\pi} = -1 [/mm] gilt?
Aber Du rechnest dann falsch weiter. Es gilt z.B.:
[mm] $\wurzel[3]{(-1)^4} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[3]{\red{+}1} [/mm] \ = \ [mm] \red{+}1$
[/mm]
Das führt Dich also stets auf die bereits bekannte Lösung [mm] $z_0$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:51 Do 20.03.2014 | | Autor: | Boastii |
Okay, ich werde es gleich nochmal versuchen und gleich Lösungen von 2 Aufgaben hier posten :)
Danke für Eure Geduld ;)
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Hallo Boastii,
> Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung:
> [mm]z^3 = 2[/mm]
> Grüßt Euch,
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> nun ich habe irgendwie keine Ahnung wie ich da rann gehen
> soll. Mir ist klar dass es eine Lösung gibt - eine reelle
> - [mm]z_1 = \wurzel[3]{2} [/mm]. Mir ist nur schleierhaft wie ich
> auf die andern beiden komplexen Lösungen kommen kann..
Ihr solltet die  Moivre-Formel gehabt haben.
Das ist letztlich der gleiche Tipp wie richies.
Grüße
reverend
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Es gilt hier schlicht: [mm]\varphi \ = \ \arctan\left(\bruch{0}{2}\right) \ = \ \arctan(0) \ = \ 0[/mm] .
