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(Frage) beantwortet | Datum: | 14:33 Sa 04.07.2009 | Autor: | tedd |
Aufgabe | Bestimmen Sie alle Lösungen der komplexen Gleichung:
[mm] z^3-(5+j)*z^2+(7+6*j)*z+(1-7*j)=0 [/mm] |
[mm] z^3-(5+j)*z^2+(7+6*j)*z+(1-7*j)=0
[/mm]
Also die erste Nullstelle findet man über das Horner-Schema durch ausprobieren raus.
[mm] z^3-(5+j)*z^2+(7+6*j)*z+(1-7*j)=0
[/mm]
[mm] \gdw (z-j)*\left(z^2-5*z+(7+j)\right)=0
[/mm]
für [mm] z^2-5*z+(7+j)=0 [/mm] gibts ja die p/q-Formel:
[mm] z=\bruch{5}{2}\pm\sqrt{-\bruch{25}{4}-\bruch{28}{4}-j}
[/mm]
[mm] z=\bruch{5}{2}\pm\sqrt{-\bruch{3-4*j}{4}}
[/mm]
Lässt man sowas jetzt so stehen also schreibt:
[mm] z_1=(z-j)
[/mm]
[mm] z_2=\bruch{5}{2}+\sqrt{-\bruch{3-4*j}{4}}
[/mm]
[mm] z_3=\bruch{5}{2}-\sqrt{-\bruch{3-4*j}{4}}
[/mm]
oder kann man das Ergebnis der beiden Nullstellen die sich aus der p/q-Formel ergeben haben noch weiter vereinfachen?
Danke und Gruß,
tedd
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> Bestimmen Sie alle Lösungen der komplexen Gleichung:
> [mm]z^3-(5+j)*z^2+(7+6*j)*z+(1-7*j)=0[/mm]
> [mm]z^3-(5+j)*z^2+(7+6*j)*z+(1-7*j)=0[/mm]
>
> Also die erste Nullstelle findet man über das
> Horner-Schema durch ausprobieren raus.
>
> [mm]z^3-(5+j)*z^2+(7+6*j)*z+(1-7*j)=0[/mm]
> [mm]\gdw (z-j)*\left(z^2-5*z+(7+j)\right)=0[/mm]
>
> für [mm]z^2-5*z+(7+j)=0[/mm] gibts ja die p/q-Formel:
>
> [mm]z=\bruch{5}{2}\pm\sqrt{-\bruch{25}{4}-\bruch{28}{4}-j}[/mm]
>
> [mm]z=\bruch{5}{2}\pm\sqrt{-\bruch{3-4*j}{4}}[/mm]
>
> Lässt man sowas jetzt so stehen also schreibt:
>
> [mm]z_1=(z-j)[/mm]
>
> [mm]z_2=\bruch{5}{2}+\sqrt{-\bruch{3-4*j}{4}}[/mm]
>
> [mm]z_3=\bruch{5}{2}-\sqrt{-\bruch{3-4*j}{4}}[/mm]
>
> oder kann man das Ergebnis der beiden Nullstellen die sich
> aus der p/q-Formel ergeben haben noch weiter vereinfachen?
wenn ich mich nicht verrechnet habe ist [mm] \sqrt{-\bruch{3-4*j}{4}}= \pm (\frac{1}{2}+j) [/mm] (nach der letzten Formel in 10.3 )
>
> Danke und Gruß,
> tedd
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Hallo,
zieh doch endlich mal den Faktor [mm] \bruch{1}{2} [/mm] aus
dem Ganzen raus. Dann hast du nur noch:
[mm] $\bruch{1}{2}*\left(\,5\pm\sqrt{-4-3\,i\,}\,\right)
[/mm]
Die verbleibende Wurzel könntest du auch trigono-
metrisch (de Moivre) oder mit dem Ansatz [mm] w=u+i\,v [/mm]
und [mm] w^2=-4-3\,i [/mm] berechnen. Da die Lösungen
ganzzahlig sind, könnte man sie (im Sinne der
Formel von de Moivre) mittels einer Skizze und
mit dem Satz von Pythagoras auch leicht erraten
und dann durch Rechnung nachprüfen.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | Datum: | 09:36 So 05.07.2009 | Autor: | tedd |
Okay!
Habs jetzt raus
Danke und Gruß,
tedd
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