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| Aufgabe | | Bestimmen Sie alle [mm] z\in\IC [/mm] mit [mm] |z+i|=\wurzel{5}|z| [/mm] und fertigen Sie eine Skizze der Lösungsmenge an, dabei sind alle Achsenabschnitte in [mm] \IC [/mm] zu bestimmen. |
Mein Ansatz ist:
[mm] |z+i|=\wurzel{5}|z|
[/mm]
[mm] |x+iy+i|=\wurzel{5}\wurzel{x^2+y^2}
[/mm]
[mm] |x+i(y+1)|=\wurzel{5}\wurzel{x^2+y^2}
[/mm]
[mm] \wurzel{x^2+(y+1)^2}=\wurzel{5}\wurzel{x^2+y^2}
[/mm]
[mm] \wurzel{x^2+y^2+2y+1}=\wurzel{5}\wurzel{x^2+y^2}
[/mm]
[mm] x^2+y^2+2y+1=5(x^2+y^2)
[/mm]
[mm] 2y+1=4x^2+4y^2
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}y+\bruch{1}{4}=x^2+y^2
[/mm]
Aber nun komme ich irgendwie nicht weiter, ich weiß das es eine Kreisfunktion ist, aber bekomme den Ausdruck jetzt nicht in die Form der Kreisfunktion umgeschrieben. Also sowas wie [mm] (x-x_{0})^2+(y-y_{0})^2=r^2
[/mm]
Auch weiß ich noch nicht was mit "alle Achsenabschnitte in [mm] \IC [/mm] zu bestimmen." gemeint ist?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:09 Mo 13.01.2014 | | Autor: | abakus |
> Bestimmen Sie alle [mm]z\in\IC[/mm] mit [mm]|z+i|=\wurzel{5}|z|[/mm] und
> fertigen Sie eine Skizze der Lösungsmenge an, dabei sind
> alle Achsenabschnitte in [mm]\IC[/mm] zu bestimmen.
> Mein Ansatz ist:
>
> [mm]|z+i|=\wurzel{5}|z|[/mm]
>
> [mm]|x+iy+i|=\wurzel{5}\wurzel{x^2+y^2}[/mm]
>
> [mm]|x+i(y+1)|=\wurzel{5}\wurzel{x^2+y^2}[/mm]
>
> [mm]\wurzel{x^2+(y+1)^2}=\wurzel{5}\wurzel{x^2+y^2}[/mm]
>
> [mm]\wurzel{x^2+y^2+2y+1}=\wurzel{5}\wurzel{x^2+y^2}[/mm]
>
> [mm]x^2+y^2+2y+1=5(x^2+y^2)[/mm]
>
> [mm]2y+1=4x^2+4y^2[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{2}y+\bruch{1}{4}=x^2+y^2[/mm]
Hallo,
das lässt sich weiter umformen zu [mm]\bruch{1}{4}=x^2+(y^2-\bruch{1}{2}y)[/mm].
Wenn du jetzt auf beiden Seiten noch [mm] $\frac{1}{16}$ [/mm] addierst, kannst du die Klammer quadratisch ergänzen.
Gruß Abakus
>
> Aber nun komme ich irgendwie nicht weiter, ich weiß das es
> eine Kreisfunktion ist, aber bekomme den Ausdruck jetzt
> nicht in die Form der Kreisfunktion umgeschrieben. Also
> sowas wie [mm](x-x_{0})^2+(y-y_{0})^2=r^2[/mm]
>
> Auch weiß ich noch nicht was mit "alle Achsenabschnitte in
> [mm]\IC[/mm] zu bestimmen." gemeint ist?
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[mm] x^2+(y^2-\bruch{1}{2}y+\bruch{1}{16})-\bruch{1}{16}
[/mm]
[mm] x^2+(y-\bruch{1}{4})^2=\bruch{1}{4}+\bruch{1}{16}
[/mm]
[mm] x^2+(y-\bruch{1}{4})^2=\bruch{5}{16}
[/mm]
[mm] x_{0}=0 [/mm]
[mm] y_{0}=\bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] r=\bruch{\wurzel{5}}{4}
[/mm]
Und was für Achsenabschnitte soll ich nun noch bestimmen?!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:36 Mo 13.01.2014 | | Autor: | Loddar |
Hallo SturmGhost!
> [mm]x^2+(y^2-\bruch{1}{2}y+\bruch{1}{16})-\bruch{1}{16}[/mm]
Hier fehlt noch etwas. Das ist nur ein Term, keine Gleichung.
> [mm]x^2+(y-\bruch{1}{4})^2=\bruch{1}{4}+\bruch{1}{16}[/mm]
Aha, schon besser.
> [mm]x^2+(y-\bruch{1}{4})^2=\bruch{5}{16}[/mm]
>
> [mm]x_{0}=0[/mm]
> [mm]y_{0}=\bruch{1}{4}[/mm]
> [mm]r=\bruch{\wurzel{5}}{4}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Und was für Achsenabschnitte soll ich nun noch bestimmen?!
Es handelt sich offensichtlich um einen Kreis. An welchen Stellen werden die beiden Achsen jeweils geschnitten?
Wann gilt $x \ = [mm] \0$ [/mm] bzw. $y \ = \ 0$ ?
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:46 Mo 13.01.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bestimmen Sie alle [mm]z\in\IC[/mm] mit [mm]|z+i|=\wurzel{5}|z|[/mm] und
> fertigen Sie eine Skizze der Lösungsmenge an, dabei sind
> alle Achsenabschnitte in [mm]\IC[/mm] zu bestimmen.
> Mein Ansatz ist:
>
> [mm]|z+i|=\wurzel{5}|z|[/mm]
>
> [mm]|x+iy+i|=\wurzel{5}\wurzel{x^2+y^2}[/mm]
>
> [mm]|x+i(y+1)|=\wurzel{5}\wurzel{x^2+y^2}[/mm]
>
> [mm]\wurzel{x^2+(y+1)^2}=\wurzel{5}\wurzel{x^2+y^2}[/mm]
>
> [mm]\wurzel{x^2+y^2+2y+1}=\wurzel{5}\wurzel{x^2+y^2}[/mm]
>
> [mm]x^2+y^2+2y+1=5(x^2+y^2)[/mm]
>
> [mm]2y+1=4x^2+4y^2[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{2}y+\bruch{1}{4}=x^2+y^2[/mm]
mal nur eine Anmerkung zur Form: Da steht eine Ansammlung von Gleichungen.
Schreibe doch bitte dazu, "in welchem Zusammenhang" sie stehen, als
Korrektor würde ich Dir alleine, weil das fehlt, die Hälfte der Punkte
abziehen.
Ich meine, wenn da steht: Man bestimme die Menge [mm] $\IL:=\{x \in \IR:\;\;2x+3=9\}\,,$
[/mm]
dann sollte man nicht
$x [mm] \in \IL$
[/mm]
$2x+3=9$
$2x=6$
$x=3$
schreiben, sondern halt
$x [mm] \in \IL$
[/mm]
[mm] $\red{\iff}$ [/mm] $2x+3=9$
[mm] $\red{\iff}$ [/mm] $2x=6$
[mm] $\red{\iff}$ $x=3\,.$
[/mm]
Natürlich, wenn man $A [mm] \iff [/mm] B$ behauptet oder benutzen will, ist auch zu prüfen,
dass dann sowohl $A [mm] \Longrightarrow [/mm] B$ als auch $B [mm] \Longrightarrow [/mm] A$ gilt.
Gruß,
Marcel
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