Komplexe Gleichung lösen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:09 Mo 27.07.2015 | | Autor: | X3nion |
| Aufgabe | Man bestimme Real- und Imaginärteil von z [mm] \in \IC, [/mm] wenn z die folgenden Bedingungen erfüllt:
[mm] \bruch{z}{|z| \* (3+j)} [/mm] = [mm] \bruch{|z|}{2+4j} [/mm] |
Hallo zusammen!
Ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter.
Wenn ich die behandle wie eine reele Gleichung, so kann ich ja mit den Nennern durchmultiplizieren und erhalte folgendes, wenn z = a+bj ist:
(a+bj) [mm] \* [/mm] (2+4j) = [mm] a^{2} [/mm] + [mm] b^{2} \* [/mm] (3+j)
<=> 2a + 4aj + 2bj - 4b = [mm] 3a^{2} [/mm] + [mm] a^{2}j [/mm] + [mm] 3b^{2} [/mm] + [mm] b^{2}j
[/mm]
Ein Koeffizientenvergleich würde nun liefern:
2a - 4b = [mm] 3a^{2} [/mm] + [mm] 3b^{2}
[/mm]
4a + 2b = [mm] a^{2} [/mm] + [mm] b^{2}
[/mm]
Damit habe ich nun aber ein nicht-lineares Gleichungssystem, wo ich nun nicht mehr weiter weiß.
Könnt ihr mir helfen?
Viele Grüße,
Christian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:58 Mo 27.07.2015 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Man bestimme Real- und Imaginärteil von z [mm]\in \IC,[/mm] wenn z
> die folgenden Bedingungen erfüllt:
>
> [mm]\bruch{z}{|z| \* (3+j)}[/mm] = [mm]\bruch{|z|}{2+4j}[/mm]
> Hallo zusammen!
>
> Ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter.
> Wenn ich die behandle wie eine reele Gleichung, so kann
> ich ja mit den Nennern durchmultiplizieren und erhalte
> folgendes, wenn z = a+bj ist:
>
> (a+bj) [mm]\*[/mm] (2+4j) = [mm]a^{2}[/mm] + [mm]b^{2} \*[/mm] (3+j)
>
> <=> 2a + 4aj + 2bj - 4b = [mm]3a^{2}[/mm] + [mm]a^{2}j[/mm] + [mm]3b^{2}[/mm] +
> [mm]b^{2}j[/mm]
>
> Ein Koeffizientenvergleich würde nun liefern:
>
> 2a - 4b = [mm]3a^{2}[/mm] + [mm]3b^{2}[/mm]
> 4a + 2b = [mm]a^{2}[/mm] + [mm]b^{2}[/mm]
Das habe ich jetzt nicht weiter nachgerechnet, ich gehe also von diesem Gleichungssystem aus.
>
> Damit habe ich nun aber ein nicht-lineares
> Gleichungssystem, wo ich nun nicht mehr weiter weiß.
> Könnt ihr mir helfen?
Du hast also:
[mm]\begin{vmatrix}2a-4b=3a^{2}+3b^{2}\\4a+2b=a^{2}+b^{2}\end{vmatrix}[/mm]
[mm]\stackrel{II\cdot3}{\Leftrightarrow}\begin{vmatrix}2a-4b=3a^{2}+3b^{2}\\12a+6b=3a^{2}+3b^{2}\end{vmatrix}[/mm]
[mm] \stackrel{II-I}{\Leftrightarrow}\begin{vmatrix}2a-4b=3a^{2}+3b^{2}\\10a+10b=0\end{vmatrix}
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow\begin{vmatrix}2a-4b=3a^{2}+3b^{2}\\b=-a\end{vmatrix}
[/mm]
Wenn du nun Gleichung II in Gleichung I einsetzt, bekommst du eine Gleichung für a (oder b, das ginge hier auch)
>
> Viele Grüße,
> Christian
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:09 Mo 27.07.2015 | | Autor: | X3nion |
Hallo Marius,
danke für deine zügige Antwort!
Ich habe mich von den Quadraten einschüchtern lassen, als stur mit ihnen weiterzurechnen.
Viele Grüße,
Christian
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:38 Di 28.07.2015 | | Autor: | fred97 |
Gehe in
$ [mm] \bruch{z}{|z| * (3+j)} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{|z|}{2+4j} [/mm] $
rechts und links zum Betrag über. Dann bekommst Du [mm] |z|=\wurzel{2}.
[/mm]
Das liefert z= [mm] \bruch{3+i}{1+2j}
[/mm]
Jetzt Du.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:21 Sa 24.10.2015 | | Autor: | X3nion |
Hallo fred,
ich hatte damals die Aufgabe anders gelöst und nicht mehr die Antworten zu diesem Beitrag angeschaut. Nun beim nochmaligen Überblick über meine Themen habe ich deine Antwort bemerkt.
Vielen Dank dafür!
Wie meintest du denn das mit "gehe auf beiden Seiten in den Betrag über" ?
Meinst du es so?
[mm] \left| \frac{z}{|z| * (3+j)}\right| [/mm] = [mm] \left|\frac{|z|}{2 + 4j}\right| [/mm]
Viele Grüße, Christian
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:38 So 25.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo fred,
>
> ich hatte damals die Aufgabe anders gelöst und nicht mehr
> die Antworten zu diesem Beitrag angeschaut. Nun beim
> nochmaligen Überblick über meine Themen habe ich deine
> Antwort bemerkt.
> Vielen Dank dafür!
>
> Wie meintest du denn das mit "gehe auf beiden Seiten in den
> Betrag über" ?
> Meinst du es so?
>
> [mm]\left| \frac{z}{|z| * (3+j)}\right|[/mm] = [mm]\left|\frac{|z|}{2 + 4j}\right|[/mm]
Ja
FRED
>
> Viele Grüße, Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:21 Mo 26.10.2015 | | Autor: | X3nion |
z / |z| (3+j) = |z| / (2+4j)
Hallo FRED,
vielen Dank für Ihre Antwort!
In der Rechnung kommt dann ja vor der Betrag vom Betrag, also | |z| |, aber dies ist dann nichts anderes als einfach |z| oder?
Gruß X3nion
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:38 Mo 26.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> z / |z| (3+j) = |z| / (2+4j)
????
Nein ! Aus
$ [mm] \left| \frac{z}{|z| \cdot{} (3+j)}\right| [/mm] $ = $ [mm] \left|\frac{|z|}{2 + 4j}\right| [/mm] $
bekommst Du:
[mm] \bruch{1}{|3+j|}=\bruch{|z|}{|2+4j|}
[/mm]
FRED
>
> Hallo FRED,
>
> vielen Dank für Ihre Antwort!
> In der Rechnung kommt dann ja vor der Betrag vom Betrag,
> also | |z| |, aber dies ist dann nichts anderes als einfach
> |z| oder?
>
> Gruß X3nion
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:01 Mo 26.10.2015 | | Autor: | X3nion |
Ahh pardon, da ich gerade auf dem Handy antworte war das "z / |z| (3+j) = |z| / (2+4j)"
für mich, damit ich die Aufgabe sehe. Habe vergessen es zu löschen.
Hmm meine Frage bestand darin, ob der Betrag vom Betrag etwas an diesem ändert,
also: [mm] \left| \frac{z}{|z| * (3+j)}\right| [/mm] = [mm] \left| \frac{|z|}{(2+4j)}\right| [/mm]
<=> [mm] \frac{|z|}{| |z| | * |3+j|} [/mm] = [mm] \frac{| |z| |}{|2+4j|}
[/mm]
<=> [mm] \frac{|z|}{|z| * |3+j|} [/mm] = [mm] \frac{|z|}{|2+4j|}
[/mm]
<=> [mm] \frac{|2+4j|}{|3+j|} [/mm] = [mm] \frac{|z|^{2}}{|z|}
[/mm]
<=> [mm] \frac{\wurzel{20}}{\wurzel{10}} [/mm] = |z|
<=> |z| = [mm] \wurzel{2}
[/mm]
Nun: Um auf die Lösung zu kommen, muss ja | |z| | = |z| gelten. Ist dies so, da |z| ja bereits die positive Länge des Zeigers einer komplexen Zahl ist und ein weiterer Betrag davon somit nichts verändert?
Gruß X3nion
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Hallo Chris,
> Ahh pardon, da ich gerade auf dem Handy antworte war das "z
> / |z| (3+j) = |z| / (2+4j)"
> für mich, damit ich die Aufgabe sehe. Habe vergessen es
> zu löschen.
>
> Hmm meine Frage bestand darin, ob der Betrag vom Betrag
> etwas an diesem ändert,
> also: [mm]\left| \frac{z}{|z| * (3+j)}\right|[/mm] = [mm]\left| \frac{|z|}{(2+4j)}\right|[/mm]
>
> <=> [mm]\frac{|z|}{| |z| | * |3+j|}[/mm] = [mm]\frac{| |z| |}{|2+4j|}[/mm]
>
> <=> [mm]\frac{|z|}{|z| * |3+j|}[/mm] = [mm]\frac{|z|}{|2+4j|}[/mm]
>
> <=> [mm]\frac{|2+4j|}{|3+j|}[/mm] = [mm]\frac{|z|^{2}}{|z|}[/mm]
>
> <=> [mm]\frac{\wurzel{20}}{\wurzel{10}}[/mm] = |z|
>
> <=> |z| = [mm]\wurzel{2}[/mm]
>
> Nun: Um auf die Lösung zu kommen, muss ja | |z| | = |z|
> gelten. Ist dies so, da |z| ja bereits die positive Länge
> des Zeigers einer komplexen Zahl ist und ein weiterer
> Betrag davon somit nichts verändert?
Das kansnt du dir doch leicht selbst beantworten:
Mit [mm]z=x+iy[/mm] ist [mm]|\red{|z|}|=|\underbrace{\red{\sqrt{x^2+y^2}}}_{=w}|[/mm]
Nun ist w reell, bzw. [mm]w=\alpha+\beta i[/mm] mit [mm]\alpha=\sqrt{x^2+y^2}[/mm] und [mm]\beta=0[/mm]
Also [mm]||z||=|w|=\sqrt{\alpha^2+\beta^2}=\sqrt{(\sqrt{x^2+y^2})^2+0^2}=\sqrt{x^2+y^2}=|z|[/mm]
>
> Gruß X3nion
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:32 Di 27.10.2015 | | Autor: | X3nion |
Hallo schachuzipus,
vielen Dank dir für die ausführliche Erklärung, ich habe es nun verstanden!
Und ja, ich hätte es mir wirklich selbst herleiten können ;)
VG X3nion
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