Komplexe Konjugation < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Für welche $z$ gilt [mm] $(e^{iz})^{\*}=e^{iz^{\*}}$? [/mm] |
Zu Beginn der Aufgabe steht natürlich $z=a+ib$. Mein erster Schritt war Einsetzen sodass
[mm] \[(e^{i(a+ib)})^{\*}=e^{i(a-ib)}\]
[/mm]
Es folgt für die linke Seite
[mm] \[e^{i(a-ib)}=e^{b}(\cos(a)+i\sin(a))\]
[/mm]
Zweifel habe ich bezüglich der rechten Seite:
[mm] \[(e^{i(a+ib)})^{\*}=(e^{ia-b})^{\*}=e^{ia+b}=e^{b}(\cos(a)+i\sin(a)\]
[/mm]
Also für alle $z$.
Stimmt das oder ist das Blödsinn?
Danke schon mal.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:23 So 29.04.2012 | | Autor: | MaxPlanck |
Halt, habe einen Fehler entdeckt: Bei der Konjugation ändert sich ja nur das Vorzeichen des Imaginärteils, also ist
[mm] \[(e^{i(a+ib)})^{\*}=(e^{ia-b})^{\*}=e^{-ia-b}\]
[/mm]
Jetzt komme ich erst recht nicht weiter.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:30 So 29.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Für welche [mm]z[/mm] gilt [mm](e^{iz})^{\*}=e^{iz^{\*}}[/mm]?
> Zu Beginn der Aufgabe steht natürlich [mm]z=a+ib[/mm].
wir haben also [mm] $(e^{i(a+ib)})^\*=e^{i(a+ib)^\*}$ [/mm] zu erfüllen:
Es gilt
[mm] $$(e^{i(a+ib)})^\*=e^{i(a+ib)^\*}$$
[/mm]
[mm] $$\gdw (e^{ia})^\*/(e^b)^\*=e^{i(a-ib)}$$
[/mm]
[mm] $$\gdw (e^{ia})^\*/e^b=e^{ia}e^b$$
[/mm]
[mm] $$\gdw (e^{ia})^\*=(e^b)^2*e^{ia}\,.$$
[/mm]
Daraus folgt schonmal durch Betragsbetrachtung, dass notwendig [mm] $b=0\,$ [/mm] gelten muss. (Warum?)
Und [mm] $e^{-ia}=e^{ia}$ [/mm] kannst Du dann noch lösen (es sollte dann rauskommen, dass die gesuchte Lösungsmenge [mm] $\{a+i*b=a+i*0=a \in \IR: a \in \pi*\IZ\}=\pi*\IZ \subseteq \IC$ [/mm] ist).
Anders formuliert:
Die geforderte Gleichheit gilt genau dann, wenn $z [mm] \in \IC$ [/mm] so ist, dass [mm] $e^{iz} \in \{-1,1\}\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
