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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:32 Mo 03.09.2007 | | Autor: | Jonez |
| Aufgabe | Berechne die folgenden komplexen Kurvenintegrale längs (nicht geschlossener) Kurven [mm] \alpha [/mm] in [mm] \IC.
[/mm]
1. [mm] \integral_{\alpha}{{z*e^{z}} dz}, \alpha(t) = 1 + i*t*\pi / 2, t \in [0, 1] [/mm]
2. [mm] \integral_{\alpha}{{(\overline{z}^{2} - z)} dz}, \alpha(t) = e^{it}, t \in [\pi, 2\pi] [/mm]
3. [mm] \integral_{\alpha}{{\cot(z)} dz}, \alpha(t) = \pi / 2 + i*t, t \in [0, log 2] [/mm] |
Hi,
ich hab mich mal an oben stehenden Aufgaben versucht.
Ich will hier nicht alles groß vorrechnen, sondern mehr oder weniger nur die Idee meines Lösungsweges aufschreiben.
Würde mich freuen, wenn mir jemand sagen könnte, ob das so einigermaßen korrekt ist.
Also zu Aufgabe 1:
Hier würde ich einfach partielle Integration anwenden und eine Stammfunktion suchen.
Damit erhalte ich dann:
[mm] \integral{{z*e^{z}} dz} = e^{z}*z-e^{z}[/mm]
Dann noch die Werte einsetzen und erhalte als Ergebnis:
[mm] 1 - \bruch{e*\pi}{2} [/mm]
Aufgabe 2:
Hier rechne ich nach der Formel:
[mm]\integral_{\alpha}{f(z) dz} = \integral_{a}^{b}{f(\alpha(t))\cdot{}\alpha'(t) dt} [/mm]
also:
[mm] \integral_{\alpha}{{(\overline{z}^{2} - z)} dz} = \integral_{\pi}^{2*\pi}{{(\overline{e^{it}}^{2} - e^{it})*e^{it}*i} dt}[/mm]
[mm] = \integral_{\pi}^{2*\pi}{{(e^{-2it} - e^{it})*e^{it}*i} dt}[/mm]
[mm] = i*\integral_{\pi}^{2*\pi}{{e^{-it} - e^{2it}} dt}[/mm]
dann nur noch schnell die Stammfunktionen berechnen, Werte einsetzen und als Ergebnis erhalte ich: [mm] -1 [/mm]
Aufgabe 3:
Hier "weiß" ich zum Glück, dass [mm] \integral{{\cot(z)} dz} = log(\sin(z)) [/mm] ist.
Also setz ich einfach die Werte ein und erhalte:
[mm] log(\sin(\bruch{\pi}{2} + i* log(2))) - log(\sin(\bruch{\pi}{2} + i*0)) [/mm]
[mm] = log(\sin(\bruch{\pi}{2} + i* log(2))) - 0 [/mm]
dann schreib ich den Sinus um:
[mm] \sin(z) = \bruch{e^{iz} - e^{-iz}}{2i} [/mm]
[mm] \sin(\bruch{\pi}{2} + i* log(2)) = \bruch{e^{i\bruch{\pi}{2}}*e^{-\log(2)} - e^{-i\bruch{\pi}{2}}*e^{\log(2)}}{2i} [/mm]
[mm] = \bruch{e^{i\bruch{\pi}{2}}*\bruch{1}{2} - e^{-i\bruch{\pi}{2}}*2}{2i} [/mm]
[mm] = \bruch{i*\bruch{1}{2} + i*2}{2i} [/mm]
[mm] = \bruch{5}{4} [/mm]
also erhalte ich als Ergebnis:
[mm] \log(\bruch{5}{4}) [/mm]
kann das so stimmen?
Das ist eine Aufgabe aus einer Klausur die nur "relativ" wenig Punkte gab, und deshalb kommt es mir ein bisschen arg schwer vor, vorallem wenn man am Anfang gar nicht die Stammfunktion kennt.
Also falls jemand einen Fehler gefunden hat, oder mir einen Tipp geben würde, was ich einfacher/besser machen kann, wär ich sehr dankbar.
Danke,
Jonas
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:34 Mo 03.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Jonas,
> Berechne die folgenden komplexen Kurvenintegrale längs
> (nicht geschlossener) Kurven [mm]\alpha[/mm] in [mm]\IC.[/mm]
> 1. [mm]\integral_{\alpha}{{z*e^{z}} dz}, \alpha(t) = 1 + i*t*\pi / 2, t \in [0, 1][/mm]
>
> 2. [mm]\integral_{\alpha}{{(\overline{z}^{2} - z)} dz}, \alpha(t) = e^{it}, t \in [\pi, 2\pi][/mm]
>
> 3. [mm]\integral_{\alpha}{{\cot(z)} dz}, \alpha(t) = \pi / 2 + i*t, t \in [0, log 2][/mm]
Mal ganz allgemein: die Methode, die du bei der 2. Aufgabe angewandt hast, kommt direkt von der Definition des Kurvenintegrals und ist deswegen immer anwendbar.
Wie du bei der 1. Aufgabe ganz richtig erkannt hast, bedeutet die Existenz einer globalen Stammfunktion, dass du einfach nur Anfangs- und Endpunkt einsetzen musst, und dann die Differenz bilden.
Problematisch wird das, wenn du nur eine lokale Stammfunktion hast, wie bei der 3. Aufgabe. Auch da würde ich die Methode mit der Parametrisierung der Kurve anwenden:
Da [mm]\alpha(t) = \pi / 2 + i*t[/mm] ist, ist [mm]\cot(\alpha(t)) = - \tan(it) = -i \tanh(t) [/mm].
Dann ist dein Integral
[mm]\integral_0^{\ln 2} \tanh(t) dt = \left. \ln \cosh(t) \right|_0^{\ln 2} = \ln(5/4)[/mm]
(Das Integral lässt sich mit der Substitution [mm]u=\cosh t[/mm] leicht ausrechnen.)
Grüße
Rainer
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