Komplexe Lösungen berechnen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie alle komplexen Lösungen von
a) [mm] z^{4}+\wurzel{3}*z²+1=0
[/mm]
b) [mm] z^{n}-1=0 [/mm] , [mm] n\in\IN [/mm]
(Hinweis : Eulersche Darstellung verwenden! ) |
Hi,
Zu Aufgabe a) habe ich einen Ansatz jedoch weiss ich irgendwie nicht weiter, das "doofe" ist halt auch das wir in der Vorlesung nicht eine solcher Aufgaben gerechnet oder besprochen haben und ich deswegen nicht so wirklich weiss wie man da vor geht.
Also ich bin zu a) folgendermaßen vorgegangen :
- Biharmonische Funktion angewendet mit x = z²
[mm] \Rightarrow x²+\wurzel{3}*x [/mm] +1 = 0
nun PQ-Formel
[mm] x_{1,2} [/mm] = [mm] -\bruch{\wurzel{3}}{2} \pm \wurzel{-0,25}
[/mm]
mit [mm] \wurzel{-1} [/mm] = j
[mm] \Rightarrow x_{1,2} [/mm] = [mm] -\bruch{\wurzel{3}}{2} \pm \wurzel{0,25}*j
[/mm]
nun habe ich [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] gebildet die sind
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] -\bruch{\wurzel{3}}{2} [/mm] + 0,5j
[mm] x_{2} [/mm] = [mm] -\bruch{\wurzel{3}}{2} [/mm] - 0,5j
bei der "normalen" biharmonischen Funktion wuerde ich nun ja nochmal die [mm] \pm [/mm] Wurzel draus ziehen
Das geht hier ja aber schlecht also dachte ich verfolge ich ich mal den Hinweis das wir die Eulersche Darstellung verwenden sollen mit
z = |z| * [mm] exp(j\gamma) [/mm] um dann dort irgendwie die wurzel draus zu ziehen
also :
|z| = [mm] \wurzel{R_{e}² + I_{m}²} [/mm] = ...
und [mm] \gamma [/mm] = arctan [mm] \bruch{I_{m}}{R_{e}} [/mm] = ...
nun habe ich es ja in |z| * [mm] exp(j\gamma) [/mm] stehen aber wie zieh ich da die +- wurzel raus? muss ja irgendwie 4 "nullstellen" erhalten.
Erscheint mir alles so ein bissle nach Sackgasse :(.
Zu b) habe ich folgende Lösung von der ich nicht weiss ob sie stimmt :
[mm] z^{n} [/mm] -1 = 0 | +1
[mm] z^{n} [/mm] = 1 | log
[mm] log_{z^{n}} [/mm] = [mm] log_{1} [/mm]
das ist ja mit n vor dem log geholt ( war / ist ja irgendeine Regel :D )
n [mm] log_{z} [/mm] = [mm] log_{1} [/mm] | : [mm] log_{z}
[/mm]
n = [mm] \bruch{log_{1} }{log_{z}} [/mm] , da [mm] log_{1} [/mm] = 0
[mm] \rightarrow [/mm] n = 0
?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:29 Fr 28.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo glamcatol!
Bei Aufgabe b.) sollst Du ja nicht nach $n_$ umstellen, sondern nach $z_$ !
Verwende hierfür die Exponentialdarstllung bzw. die  Moivre-Formel:
[mm] $$z^n [/mm] \ = \ 1$$
[mm] $$\Rightarrow [/mm] \ z \ = \ [mm] 1^{\bruch{1}{n}}*\left[\cos\left(\bruch{0+k*2\pi}{n}\right)+j*\sin\left(\bruch{0+k*2\pi}{n}\right)\right]$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Achja, dachte irgendwie das wir "n" suchen. Nungut ok
Könnte man das noch anders lösen ausser mit der Moivren Formel? Die höre ich jetzt gerade zum ersten mal deswegen :).
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:39 Fr 28.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo glamcatol!
Dann kannst Du es noch geometrisch anhand der Gauß'schen Zahlenebene lösen.
Die Gleichung [mm] $z^n-1 [/mm] \ = \ 0$ entspricht einer gleichmäßigen Aufteilung (je nach $n_$ ) im Einheitskreis.
Gruß
Loddar
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Hallo glamcatol,
> Berechnen Sie alle komplexen Lösungen von
> a) [mm]z^{4}+\wurzel{3}*z²+1[/mm] = 0
>
> b) [mm]z^{n}[/mm] -1 = 0 , n [mm]\in[/mm] |N
>
> (Hinweis : Eulersche Darstellung verwenden! )
> Hi,
> Zu Aufgabe a) habe ich einen Ansatz jedoch weiss ich
> irgendwie nicht weiter, das "doofe" ist halt auch das wir
> in der Vorlesung nicht eine solcher Aufgaben gerechnet oder
> besprochen haben und ich deswegen nicht so wirklich weiss
> wie man da vor geht.
>
> Also ich bin zu a) folgendermaßen vorgegangen :
>
> - Biharmonische Funktion angewendet mit x = z²
>
> [mm]\Rightarrow x²+\wurzel{3}*x[/mm] +1 = 0
>
> nun PQ-Formel
>
> [mm]x_{1,2}[/mm] = [mm]-\bruch{\wurzel{3}}{2} \pm \wurzel{-0,25}[/mm]
>
> mit [mm]\wurzel{-1}[/mm] = j
>
> [mm]\Rightarrow x_{1,2}[/mm] = [mm]-\bruch{\wurzel{3}}{2} \pm \wurzel{0,25}*j[/mm]
>
> nun habe ich [mm]x_{1}[/mm] und [mm]x_{2}[/mm] gebildet die sind
>
> [mm]x_{1}[/mm] = [mm]-\bruch{\wurzel{3}}{2}[/mm] + 0,5j
>
> [mm]x_{2}[/mm] = [mm]-\bruch{\wurzel{3}}{2}[/mm] - 0,5j
>
> bei der "normalen" biharmonischen Funktion wuerde ich nun
> ja nochmal die [mm]\pm[/mm] Wurzel draus ziehen
> Das geht hier ja aber schlecht also dachte ich verfolge
> ich ich mal den Hinweis das wir die Eulersche Darstellung
> verwenden sollen mit
>
> z = |z| * [mm]exp(j\gamma)[/mm] um dann dort irgendwie die wurzel
> draus zu ziehen
>
>
> also :
> |z| = [mm]\wurzel{R_{e}² + I_{m}²}[/mm] = ...
>
> und [mm]\gamma[/mm] = arctan [mm]\bruch{I_{m}}{R_{e}}[/mm] = ...
>
> nun habe ich es ja in |z| * [mm]exp(j\gamma)[/mm] stehen aber wie
> zieh ich da die +- wurzel raus? muss ja irgendwie 4
> "nullstellen" erhalten.
>
> Erscheint mir alles so ein bissle nach Sackgasse :(.
>
Die Wurzel aus einer komplexen Zahl, kannst Du auch mit Hilfe des Ansatzes
[mm]z=\left(a+bi\right)^2[/mm]
Die daraus resultierenden Gleichungen
[mm]a^{2}-b^{2}= Re \ z[/mm]
[mm]2*a*b=Im \ z [/mm]
führen auf eine biquadratische Gleichung in a bzw. b.
Gruß
MathePower
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also muss ich bei
$ [mm] x_{1} [/mm] = [mm] -\bruch{\wurzel{3}}{2} [/mm] + 0,5j $
[mm] (\bruch{\wurzel{3}}{2}+0,5J [/mm] )² ausmultiplizieren? und dann nochmal die PQ formel machen ?
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Hallo glamcatol,
> also muss ich bei
>
> [mm]x_{1} = -\bruch{\wurzel{3}}{2} + 0,5j[/mm]
>
> [mm](\bruch{\wurzel{3}}{2}+0,5J[/mm] )² ausmultiplizieren? und dann
> nochmal die PQ formel machen ?
Der Ansatz ist [mm]\left(a+bj\right)^{2}=-\bruch{\wurzel{3}}{2}+\bruch{1}{2}j[/mm]
Daraus ergeben sich dann zwei Gleichungen:
[mm]a^{2}-b^{2}=-\bruch{\wurzel{3}}{2}[/mm]
[mm]2ab=\bruch{1}{2}[/mm]
Dieses Gleichungssystem löst Du jetzt nach a, b, auf.
Bei den Lösungen mußt Du beachten daß a,b reelle Zahlen sind.
Gruß
MathePower
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Mh, sorry wenn ich gerad "doofe" Fragen stelle :) , aber hab ich dann nicht jeweils "nur" 2 Lösungen anstatt 4?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:52 Fr 28.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo glamcatol!
Schon richtig. aber Du hast ja auch noch aus Deiner obigen Berechnung eine weitere Lösung mit [mm] $x_2 [/mm] \ = \ [mm] z^2 [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{\wurzel{3}}{2} [/mm] \ [mm] \red{-} [/mm] \ [mm] \bruch{1}{2}*j$ [/mm] .
Daraus entstehen dann noch zwei weitere Lösungen [mm] $z_3$ [/mm] und [mm] $z_4$ [/mm] .
Gruß
Lodadr
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Also irgendwie hab ich momentan einfach nur ein Brett vor dem Kopf..
Wenn ich ( a * b ) ² = 0,5j habe und
2ab = 0,5
dann kann ich die ja 1x nach b auflösen und gleichsetzen und dann nach a oder b auflösen.
das ergebnis dann in eine von den Gleichungen einsetzen und nach der anderen variablen auflösen.
dann hab ich a = x und b = y also irgendwelche werte raus.
Und dann? Ich seh gerade nicht den Lösungsweg.
Bin ja schonmal froh das es bis zum Wurzel ziehen von x1 und x2 geklappt hatt bzw richtig ist.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:53 Fr 28.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo glamcatol!
Du hast folgendes Gleichungssystem (infolge Koeffizientenvergleich):
[mm] $$a^2-b^2 [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{\wurzel{3}}{2}$$
[/mm]
$$2*a*b \ = \ [mm] \bruch{1}{2}$$
[/mm]
Forme nun die 2. Gleichung z.B. nach $b \ = \ ...$ um und setze in die 1. Gleichung ein.
Daraus kannst Du dann $a_$ ermitteln.
Gruß
Loddar
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Hi,
Jo also soweit wusste ich noch bzw weiß ich noch.
Nur dann hab ich ja nacher a² = .... und dann halt die wurzel a = [mm] \wurzel{....}
[/mm]
Nur dann habe ich im endeffekt ein a und danach ein b , was mir dann ein z gibt mit a = realteil und b=imaginärteil oder?
Aber ich bräuchte doch 2 verschiede a's bzw b's für 2 verschiedene Z's damit ich nacher auf 4 komme.
PS : woher kommt eigentlich der ansatz?
"Die Wurzel aus einer komplexen Zahl, kannst Du auch mit Hilfe des Ansatzes
$ [mm] z=\left(a+bi\right)^2 [/mm] $ " - Ich kenne nur z = [mm] \wurzel{Re²+Im²}[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:05 Fr 28.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo glamcatol!
Poste doch mal Deine konkreten errechneten Werte.
Und dann musst Du bedenken, dass aus der Gleichung [mm] $a^2 [/mm] \ = \ ...$ ebenfalls zwei Lösungen mit [mm] $a_{1/2} [/mm] \ = \ [mm] \red{\pm} [/mm] \ [mm] \wurzel{ \ ... \ }$ [/mm] entstehen.
Gruß
Loddar
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Hi,
also ausgehend von dem Punkt aus bis wo ich es anscheinend "richtig" habe :D
[mm] x_{1} [/mm] = - [mm] \bruch{\wurzel{3}}{4} [/mm] + [mm] j\bruch{1}{2}
[/mm]
mit den gleichungen ( weiss leider immer noch nicht woher sie kommen :) , klar koeffiezientenvergleich- aber wen vergleich ich ? )
1. ) 2ab = 0,5
und
2.) a²-b² = - [mm] \bruch{\wurzel{3}}{2}
[/mm]
ich forme 2ab = 0,5 nach b um
nun b = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] a
setze das in die zweite ein
a² [mm] -\bruch{1}{4}a +\bruch{\wurzel{3}}{2} [/mm] = 0
nun [mm] a_{1,2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{8} \pm \wurzel{(\bruch{1}{8})² - \bruch{\wurzel{3}}{2}}
[/mm]
nun kommt was negatives unter der wurzel also verwende ich wieder " j "
[mm] a_{1,2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{8} \pm [/mm] j [mm] \wurzel{0,85}
[/mm]
[mm] a_{1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{8} [/mm] + j0,92
[mm] a_{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{8} [/mm] - j0,92
nun würde ich a1 in die 1.) einsetzen und nach b1 auflösen nur irgendwie hab ich dann doch
2 * ( [mm] \bruch{1}{8} [/mm] +j 0,92 ) * b = 0,5
nun ausmultiplizieren
[mm] (\bruch{1}{4} [/mm] + j 1,84 ) * b1 = 0,5 nun | : [mm] (\bruch{1}{4} [/mm] + j 1,84 )
dann habe ich b1 = [mm] \bruch{0,5}{(\bruch{1}{4} + j 1,84 ) }
[/mm]
und das schaut nicht so richtig aus :(
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:30 Fr 28.11.2008 | | Autor: | glamcatol |
Fragen nebenher - sieht man eigentlich wenn eine neue Mitteilung zum thread erstellt wurde, oder ist dies nur bei Fragen so?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:27 Sa 29.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo glamcatol!
Diese Frage versteh ich nicht ganz ... Du siehst doch beim Betrachten des Threads, ob ein neuer Artikel dasteht oder nicht ...
Gruß
Loddar
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Das Problem ist halt das ich den Ansatz nicht verstehe , also wieso ich nun per Koeffizientenvergleich und Umformen vorgehen muss.
Wir hatten in der Vorlesung nur | z | = [mm] \wurzel{Re²+Im²} [/mm] und dann war gut
deswegen weiss ich gar nicht woher das
z = ( a + b ) ² kommt
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Hallo glamcatol,
> Das Problem ist halt das ich den Ansatz nicht verstehe ,
> also wieso ich nun per Koeffizientenvergleich und Umformen
> vorgehen muss.
>
> Wir hatten in der Vorlesung nur | z | = [mm]\wurzel{Re²+Im²}[/mm]
> und dann war gut
>
> deswegen weiss ich gar nicht woher das
>
> z = ( a + b ) ² kommt
Wir suchen die Wurzel aus der komplexen Zahl z.
Demnach muß es eine komplexe Zahl [mm]a+bi[/mm] geben, dessen Quadrat gleich z ergibt.
Gruß
MathePower
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Hi,
Achso, demnach ist X1 bzw X2 meine komplexe zahl und (a+bi )² dann halt das gesuchte.
Gut das ist ja Binom und dann ist gut allerdings frag ich mich wie ich nun zu dem Koeffizientenvergleich komme.
Ich habe dann ja a²+2ab -b² stehen so
und nun?
Ferner sollten wir ja zu "Hilfe" die Eulersche Darstellung verwenden" die ist ja einfach nur z = | z | exp ( [mm] j\alpha [/mm] )
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Hallo glamcatol,
> Hi,
>
> Achso, demnach ist X1 bzw X2 meine komplexe zahl und (a+bi
> )² dann halt das gesuchte.
>
> Gut das ist ja Binom und dann ist gut allerdings frag ich
> mich wie ich nun zu dem Koeffizientenvergleich komme.
>
> Ich habe dann ja a²+2ab -b² stehen so
[mm]\left(a+bi\right)^{2}=a^{2}+2abi-b^{2}[/mm]
Nun wird verglichen:
[mm]a^{2}-b^{2}=\ Re \ X1[/mm]
[mm]2ab=\ Im \ X1 [/mm]
>
> und nun?
> Ferner sollten wir ja zu "Hilfe" die Eulersche Darstellung
> verwenden" die ist ja einfach nur z = | z | exp ( [mm]j\alpha[/mm] )
>
Die kannst Du auch verwenden.
Gruß
MathePower
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Hi,
Ah nun versteh ich. dann halt schaun wie der jeweilige Re bzw Im Teil von X1 und X2 ist.
Nunja dann kann ich ja , wie loddar erwaehnte , eine der beiden "formeln" nach b auflösen und das b dann in die andere einsetzen also
1. ) a²-b² [mm] +\bruch{\wurzel{3}}{2} [/mm] = 0
und
2.) 2ab = 0,5 mit b = [mm] \bruch{1}{4a}
[/mm]
das in die 1.) eingesetzt gibt ja
a² - [mm] \bruch{1}{4a}+\bruch{\wurzel{3}}{2} [/mm] = 0
so nun pq
allerdings frag ich mich wie mein [mm] -\bruch{p}{2} [/mm] vor dem bruch ausschaut da ich ja [mm] \bruch{1}{4a} [/mm] habe .
ich mein normalerweise betrache ich ja nur den koeffenzienten von a und das wäre hier doch [mm] \bruch{1}{4} [/mm] oder doch 4 ?
Also bitte nich wundern wenn ich etwas bedeppert erscheine , nur habe ich noch nie Komplexe lösungen ausgerechnet bei Biharmonischen Funktionen. Und leider hatten wir das nicht ein einziges mal in der Vorlesung, war halt auf einmal solch eine Aufgabe auf dem Übungszettel, genauso wie die aufgabe 1.b).
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Hallo glamcatol.
> Hi,
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> Ah nun versteh ich. dann halt schaun wie der jeweilige Re
> bzw Im Teil von X1 und X2 ist.
>
> Nunja dann kann ich ja , wie loddar erwaehnte , eine der
> beiden "formeln" nach b auflösen und das b dann in die
> andere einsetzen also
>
> 1. ) a²-b² [mm]+\bruch{\wurzel{3}}{2}[/mm] = 0
>
> und
>
> 2.) 2ab = 0,5 mit b = [mm]\bruch{1}{4a}[/mm]
>
> das in die 1.) eingesetzt gibt ja
>
> a² - [mm]\bruch{1}{4a}+\bruch{\wurzel{3}}{2}[/mm] = 0
Richtig muss es heißen:
[mm]a^{2} - \left(\bruch{1}{4a}\right)^{2}+\bruch{\wurzel{3}}{2} = 0[/mm]
Dann multiplizierst Du das mit [mm]\left(4a\right)^2[/mm] durch und erhältst:
[mm]16a^{4}+16a^{2}*\bruch{\wurzel{3}}{2}-1=0[/mm]
Substituieren wir nun [mm]u=4a^{2}[/mm]
Dann folgt
[mm]u^{2}+2*\wurzel{3}*u-1=0[/mm]
So und jetzt kannst Du die pq-Formel anwenden.
Bedenke hier, daß die Lösungen [mm]u \in \IR, u \ge 0[/mm] sein müssen.
>
> so nun pq
>
> allerdings frag ich mich wie mein [mm]-\bruch{p}{2}[/mm] vor dem
> bruch ausschaut da ich ja [mm]\bruch{1}{4a}[/mm] habe .
>
> ich mein normalerweise betrache ich ja nur den
> koeffenzienten von a und das wäre hier doch [mm]\bruch{1}{4}[/mm]
> oder doch 4 ?
>
> Also bitte nich wundern wenn ich etwas bedeppert erscheine
> , nur habe ich noch nie Komplexe lösungen ausgerechnet bei
> Biharmonischen Funktionen. Und leider hatten wir das nicht
> ein einziges mal in der Vorlesung, war halt auf einmal
> solch eine Aufgabe auf dem Übungszettel, genauso wie die
> aufgabe 1.b).
Gruß
MathePower
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Huhu,
ersteinmal vielen Dank fuer die ausführliche Hilfe.
Ich kann mir jedoch nicht vorstellen das es so von unserem Prof "gewollt" war ,also das ganze substituieren. Das erscheint mir doch recht "extrem" verschachelt das ganze vorallem weil wir die andere Aufgabe mit einer harmonischen Schwingung haben die ich aber meiner Meinung nach verstanden habe.
Ich will nun einfach mal mein "Gedankenfluss" hier abbrechen wie man so schön sagt und das neu ansetzen bei dem X1 und X2 das ich direkt nach der ersten PQ formel gelöst habe.Ich hoffe es ist in Ordnung.
X1 war ja = [mm] -\bruch{\wurzel{3}}{2}+ [/mm] j0,5 ( bzw i0,5 )
nun schreibe ich das in Polarform um :
|Z| = [mm] \wurzel{Re²+Im²} [/mm] = [mm] (-\bruch{\wurzel{3}}{2})²+0,5² [/mm] = 1
und Phi das ich hier [mm] \gamma [/mm] nenne ist
[mm] \gamma [/mm] = arctan [mm] \bruch{Im}{Re} [/mm] = -0,524Rad nun + [mm] \pi [/mm] wegen diesem Fehler der auftritt bei einem negativen Realteil
[mm] \gamma [/mm] ist also = 2,618Rad
so ist also
X1 = 1 * exp(j2,618 )
nun stellt sich die Frage wie ich daraus die Wurzel bilde
ist es nicht irgendwie [mm] \wurzel{|z|} [/mm] und [mm] \bruch{\gamma}{2} [/mm] ?
So haette ich ja seinen "Hinweis" bzw. Hilfe verbaut :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:55 Mo 01.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich halte das Wurzelziehen mit dem zurückgehen auf die Trennung in a+ib für einen zwar nicht falschen , aber schlechten Weg, weil er ja nur genau für Quadratwurzeln taugt.
Wurzeln sollte man grundsätzlich,- wie du hier am Ende- aus der Form
[mm] z=r*e^{i\phi} [/mm] ziehen mit
[mm] z^{1/n}=r^{1/n}*e^{i*(\phi+k*2\pi)/n}
[/mm]
was du ja auch als letztes geschrieben hast mit n=2
Damit ist dann auch deine zweite Aufgabe schnell gelöst.
Gruss leduart
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D.h. ich ziehe einfach die 2te wurzel aus |z| sowie aus dem Im Teil ?
Wenn dies so ist, wo habe ich dann meine jeweils 2 Lösungen fuer X1 udn X2 ?
Indem ich wieder [mm] \pm [/mm] mache?
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Hallo glamcatol,
> D.h. ich ziehe einfach die 2te wurzel aus |z| sowie aus dem
> Im Teil ?
Ja.
>
> Wenn dies so ist, wo habe ich dann meine jeweils 2 Lösungen
> fuer X1 udn X2 ?
>
> Indem ich wieder [mm]\pm[/mm] mache?
Nein, die Lösungen kommen unmittelbar heraus:
[mm]\blue{k=0}:X_{1_{1}}=r^{\bruch{1}{2}}*e^{\bruch{\phi+\blue{0}*2*\pi}{2}}[/mm]
[mm]\blue{k=1}:X_{1_{2}}=r^{\bruch{1}{2}}*e^{\bruch{\phi+\blue{1}*2*\pi}{2}}[/mm]
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:28 Mo 01.12.2008 | | Autor: | Dath |
Hallo,
Was spricht denn gegen die Überelegung von 1?
Übrigens: Die Determinante D sollte eigentlich -1 also j bzw. i sein.
zu 2:
Die Wurzeln liegen alle auf dem Einheitskreis. Jetzt musst du nur noch umformen, Euler-Moivre Darstellung, und schon hast du deine n komplexen Lösungen. Beachte:
[mm]\wurzel[n]{1} \forall n=2m+1: =1, \forall n =2m : \pm1[/mm]
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Das muss heißen: $b \ = \ [mm] \bruch{1}{4*a}$
[/mm]