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| Aufgabe | [mm] z_{1} [/mm] <c [mm] z_{2} [/mm] : [mm] \gdw |z_{1}| [/mm] <c [mm] |z_{2}|
[/mm]
Diese Ordnung wird auf [mm] \IC [/mm] definiert.
Welche der Ordnungsaxiome für den geordneten Körper sind verletzt? Geben Sie für die verletzten Ordnungsaxiome ein Gegenbeispiel an. |
Hallo!
Hab hier gleich zu Anfang ein Problem:
Wann ist denn eine komplexe Zahl kleiner bzw. größer als eine andere?
Gibt es dazu eine allgemeingültige Definition?
gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:20 Sa 04.06.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
hierfür nutzt man den euklidischen Abstand, zu
[mm] c = a + ib [/mm] gehört der Betrag
[mm] |c| = \wurzel{a^2 + b^2} [/mm]
Viele Grüße,
Infinit
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> Hallo,
> hierfür nutzt man den euklidischen Abstand, zu
> [mm]c = a + ib[/mm] gehört der Betrag
> [mm]|c| = \wurzel{a^2 + b^2}[/mm]
> Viele Grüße,
> Infinit
>
Hallo Infinit!
Hmm, aber wie soll ich dann die Aufgabenstellung verstehen?
Es muss ja entweder belegt bzw. widerlegt werden, das eines der Ordnungsaxiome gilt bzw. nicht gilt. Für letzteren Fall soll ja ein Gegenbeispiel gefunden werden.
Wenn ich hier nur nach dem Betrag gehen würde, würden ja alle Axiome passen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:14 So 05.06.2011 | | Autor: | Fulla |
Hallo Valerie20,
> > Hallo,
> > hierfür nutzt man den euklidischen Abstand, zu
> > [mm]c = a + ib[/mm] gehört der Betrag
> > [mm]|c| = \wurzel{a^2 + b^2}[/mm]
> > Viele Grüße,
> > Infinit
> >
>
> Hallo Infinit!
>
> Hmm, aber wie soll ich dann die Aufgabenstellung
> verstehen?
> Es muss ja entweder belegt bzw. widerlegt werden, das
> eines der Ordnungsaxiome gilt bzw. nicht gilt. Für
> letzteren Fall soll ja ein Gegenbeispiel gefunden werden.
> Wenn ich hier nur nach dem Betrag gehen würde, würden ja
> alle Axiome passen.
Wirklich?
> Ordnungsaxiome
>
> Es gilt genau eine der drei Beziehungen
> a < b, a = b, b < a
> (A11) Aus a < b und b < c folgt a < c.
> (A12) Aus a < b folgt a + c < b + c.
> (A13) Aus a < b und 0 < c folgt ac < bc.
Bei (A11) und (A13) wirst du keine Probleme haben. Schau dir aber mal (A12) genauer an:
[mm]|z_1|<|z_2| \Rightarrow |z_1+z_3|<|z_2+z_3|[/mm]
Gilt das wirklich für jedes [mm]z_3[/mm]? Mach dir mal eine Skizze mit zwei beliegiben [mm]z_1[/mm], [mm]z_2[/mm] (mit [mm]|z_1|<|z_2|[/mm]) und versuche ein [mm]z_3[/mm] zu finden, für das gilt [mm]|z_1+z_3|>|z_2+z_3|[/mm].
Lieben Gruß,
Fulla
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Hi Fulla!
> Hallo Valerie20,
>
> > > Hallo,
> > > hierfür nutzt man den euklidischen Abstand, zu
> > > [mm]c = a + ib[/mm] gehört der Betrag
> > > [mm]|c| = \wurzel{a^2 + b^2}[/mm]
> > > Viele Grüße,
> > > Infinit
> > >
> >
> > Hallo Infinit!
> >
> > Hmm, aber wie soll ich dann die Aufgabenstellung
> > verstehen?
> > Es muss ja entweder belegt bzw. widerlegt werden, das
> > eines der Ordnungsaxiome gilt bzw. nicht gilt. Für
> > letzteren Fall soll ja ein Gegenbeispiel gefunden werden.
> > Wenn ich hier nur nach dem Betrag gehen würde, würden
> ja
> > alle Axiome passen.
>
> Wirklich?
>
> > Ordnungsaxiome
> >
> > Es gilt genau eine der drei Beziehungen
> > a < b, a = b, b < a
> > (A11) Aus a < b und b < c folgt a < c.
> > (A12) Aus a < b folgt a + c < b + c.
> > (A13) Aus a < b und 0 < c folgt ac < bc.
>
> Bei (A11) und (A13) wirst du keine Probleme haben. Schau
> dir aber mal (A12) genauer an:
> [mm]|z_1|<|z_2| \Rightarrow |z_1+z_3|<|z_2+z_3|[/mm]
> Gilt das
Ich dachte die ganze Zeit ich muss (A12) wie folgt formulieren:
[mm] |z_{1}| +|z_{3}| [/mm] < [mm] |z_{2}| [/mm] + [mm] |z_{3}| [/mm]
> wirklich für jedes [mm]z_3[/mm]? Mach dir mal eine Skizze mit zwei
> beliegiben [mm]z_1[/mm], [mm]z_2[/mm] (mit [mm]|z_1|<|z_2|[/mm]) und versuche ein [mm]z_3[/mm]
> zu finden, für das gilt [mm]|z_1+z_3|>|z_2+z_3|[/mm].
[mm] z_{1}=1+2j
[/mm]
[mm] z_{2}=4-3j
[/mm]
[mm] z_{3}=-1+3j
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] |1+2j-1+3j| < |4-3j-1+3j|
| 5j| < |3|
Das ist natürlich falsch und wäre somit ein Gegenbeispiel.
Danke schonmal für den Tipp Fulla!
Steckt da ein System dahinter ( sowas wie: alle komplexen Zahlen -90° von der kleineren komplexen zahl erfüllen die Bedingung) oder muss man sich da immer eine beliebige Zahl aussuchen für die es gerade gilt?
>
> Lieben Gruß,
> Fulla
>
>
gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:46 So 05.06.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Steckt da ein System dahinter ( sowas wie: alle komplexen
> Zahlen -90° von der kleineren komplexen zahl erfüllen
> die Bedingung) oder muss man sich da immer eine beliebige
> Zahl aussuchen für die es gerade gilt?
Mach dir anschaulich klar, was die definierte Ordnungsrelation bedeutet: $|z|$ ist in der komplexen Zahlenebene der Abstand der Zahl z von Nullpunkt. Die Zahlen werden also anhand ihres Abstandes von der 0 angeordnet.
Andererseits bedeutet das Axiom (A12) für den Fall komplexer Zahlen: wenn ich die Zahlen a und b beide um die gleiche Zahl c verschiebe, dann darf sich an der Ordnung nichts ändern.
Was passiert aber beim Verschieben mit dem Abstand von der 0?
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer!
> Hallo!
>
> > Steckt da ein System dahinter ( sowas wie: alle komplexen
> > Zahlen -90° von der kleineren komplexen zahl erfüllen
> > die Bedingung) oder muss man sich da immer eine beliebige
> > Zahl aussuchen für die es gerade gilt?
>
> Mach dir anschaulich klar, was die definierte
> Ordnungsrelation bedeutet: [mm]|z|[/mm] ist in der komplexen
> Zahlenebene der Abstand der Zahl z von Nullpunkt. Die
> Zahlen werden also anhand ihres Abstandes von der 0
> angeordnet.
>
> Andererseits bedeutet das Axiom (A12) für den Fall
> komplexer Zahlen: wenn ich die Zahlen a und b beide um die
> gleiche Zahl c verschiebe, dann darf sich an der Ordnung
> nichts ändern.
>
> Was passiert aber beim Verschieben mit dem Abstand von der
> 0?
Ich erhalte ein parallelogramm mit den Seitenlängen [mm] |z_{1}| [/mm] und [mm] |z_{2}|
[/mm]
Die Summe aus beiden entspricht dann meinem neuen Betrag. Also die Diagonale f bzw. e im parallelogramm.
[mm] \Rightarrow [/mm] Umso näher [mm] z_{1} [/mm] bei [mm] z_{2} [/mm] liegt, desto größer ist der Betrag der Summe aus beiden komplexen Zahlen [mm] z_{3}.
[/mm]
Am größten natürlich, falls [mm] z_{1} [/mm] = [mm] z_{2}.
[/mm]
Kann man das nun durch eine Formel ausdrücken? Sodass man sofort weis in welchem Winkelbereich gilt, dass :
[mm] |z_{1}+z_{3}| [/mm] < [mm] |z_{2}+z_{3}| [/mm]
bzw.:
[mm] |z_{1}+z_{3}| [/mm] > [mm] |z_{2}+z_{3}| [/mm]
>
> Viele Grüße
> Rainer
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:24 Mo 06.06.2011 | | Autor: | fred97 |
Nimm mal [mm] z_1=i [/mm] und [mm] z_2=2, [/mm] dann ist
[mm] $|z_1|<|z_2|$
[/mm]
Nun finde mal ein konkretes c [mm] \in \IC [/mm] mit
[mm] $|z_1+c| \ge |z_2+c|$
[/mm]
Damit ist (A 12) verletzt.
FRED
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Hallo Fred!
> Nimm mal [mm]z_1=i[/mm] und [mm]z_2=2,[/mm] dann ist
>
> [mm]|z_1|<|z_2|[/mm]
>
> Nun finde mal ein konkretes c [mm]\in \IC[/mm] mit
>
> [mm]|z_1+c| \ge |z_2+c|[/mm]
>
> Damit ist (A 12) verletzt.
c=-2
>
> FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:28 Mo 06.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred!
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> > Nimm mal [mm]z_1=i[/mm] und [mm]z_2=2,[/mm] dann ist
> >
> > [mm]|z_1|<|z_2|[/mm]
> >
> > Nun finde mal ein konkretes c [mm]\in \IC[/mm] mit
> >
> > [mm]|z_1+c| \ge |z_2+c|[/mm]
> >
> > Damit ist (A 12) verletzt.
>
> c=-2
Bingo !
FRED
>
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>
> >
> > FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:20 Mi 08.06.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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