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| Aufgabe | | Es sei [mm] z\in\IC [/mm] eine Lösung der Gleichung [mm] a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+...+a_{1}z+a_{0}=0 [/mm] mit reellen Koeffizienten [mm] a_{0},...,a_{n}\in\IR. [/mm] Zeigen Sie, dass dann auch die konjugierte Zahl z Lösung der Gleichung ist. |
Ich weiß, dass wenn man z=x+yi hat die konjugierte Zahl z=x-yi bekommt. Mehr aber auch nicht. Ich habe nicht ganz verstanden, was mit der Frage gemeint ist. Wenn ich konjugieren muss, dann weiß ich auch nicht wie man das macht, außer die oben erwähnte Formel. hoffe könnt mir irgendwie helfen.
Danke im vorraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:53 Di 12.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Es sei [mm]z\in\IC[/mm] eine Lösung der Gleichung
> [mm]a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+...+a_{1}z+a_{0}=0[/mm] mit reellen
> Koeffizienten [mm]a_{0},...,a_{n}\in\IR.[/mm] Zeigen Sie, dass dann
> auch die konjugierte Zahl z Lösung der Gleichung ist.
> Ich weiß, dass wenn man z=x+yi hat die konjugierte Zahl
> z=x-yi bekommt. Mehr aber auch nicht. Ich habe nicht ganz
> verstanden, was mit der Frage gemeint ist.
Sei
(*) $p(z) = [mm] a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+...+a_{1}z+a_{0}$
[/mm]
Du sollst zeigen: ist [mm] z_0 [/mm] eine Nullstelle von p, so ist auch [mm] \overline{z_0} [/mm] eine Nullstelle von p.
Tipp dazu: Mit der Darstellung (*) schreibe mal [mm] \overline{p(z_0)} [/mm] und [mm] p(\overline{z_0}) [/mm] auf. Fällt Dir etwas auf ?
FRED
> Wenn ich
> konjugieren muss, dann weiß ich auch nicht wie man das
> macht, außer die oben erwähnte Formel. hoffe könnt mir
> irgendwie helfen.
> Danke im vorraus.
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okay p(*z) ist eingesetzt. ich meine *z ist eingesetzt in p, aber wie hilft mir das weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:02 Di 12.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> okay p(*z) ist eingesetzt. ich meine *z ist eingesetzt in
> p, aber wie hilft mir das weiter?
Du hast also [mm] p(\overline{z_0}) [/mm] ausgerechnet. Jetzt rechne noch aus: [mm] \overline{p(z_0)}
[/mm]
Siehst Du jetzt, dass [mm] p(\overline{z_0}) [/mm] = [mm] \overline{p(z_0)} [/mm] ?
FRED
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nein ich habe nicht p(*z) ausgerechnet, ich weiß gar nicht wie das geht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:13 Di 12.01.2010 | | Autor: | fred97 |
Setze in
$ p(z) = [mm] a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+...+a_{1}z+a_{0} [/mm] $
für z die Zahl [mm] \overline{z_0} [/mm] ein
FRED
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soll ich für [mm] \overline{z} [/mm] eine zahl annehmen oder meinst du das hier:
[mm] p(\overline{z}) [/mm] = [mm] a_{n}\overline{z}^{n}+a_{n-1}\overline{z}^{n-1}+...+a_{1}\overline{z}+a_{0}
[/mm]
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Hallo nochmal,
> soll ich für [mm]\overline{z}[/mm] eine zahl annehmen ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") oder meinst
> du das hier:
>
>
> [mm]p(\overline{z})[/mm] = [mm]a_{n}\overline{z}^{n}+a_{n-1}\overline{z}^{n-1}+...+a_{1}\overline{z}+a_{0}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das stimmt so, nun vergleiche das mit [mm] $0=\overline{0}=\overline{p(z)}$ [/mm] ...
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:26 Di 12.01.2010 | | Autor: | monstre123 |
was soll ich da vergleichen. es ist doch genau so wie die ausgangsgleichung nur statt z ist [mm] \overline{z} [/mm] ersetzt worden.
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Hallo,
wenn du damit meinst, dass [mm] $0=\overline{p(z_0)}=p(\overline{z_0})$ [/mm] ist, hast du recht.
Was sagt dir das im Bezug auf die Aufgabenstellung?
Gruß
schachuzipus
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die tipps helfen zum vergleichen von $ [mm] \overline{p(z_0)} [/mm] $ und $ [mm] p(\overline{z_0}) [/mm] $ . identisch..
nur erschliesst sich aus dem vergleich für mich nicht warum [mm] $\overline{z_0}$ [/mm] auch nullstelle ist,
denn um das zu beweisen müsste ich doch
[mm] $p(\overline{z_0}$) [/mm] = [mm] p(z_0) [/mm] =0
rausbekommen, oder?
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Hallo König Bruno und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> die tipps helfen zum vergleichen von [mm]\overline{p(z_0)}[/mm] und
> [mm]p(\overline{z_0})[/mm] . identisch..
> nur erschliesst sich aus dem vergleich für mich nicht
> warum [mm]\overline{z_0}[/mm] auch nullstelle ist,
> denn um das zu beweisen müsste ich doch
> [mm]p(\overline{z_0}[/mm]) = [mm]p(z_0)[/mm] =0
> rausbekommen, oder?
Ja, es ist doch [mm]\overline 0=0[/mm]
Also mit [mm]0=p(z_0)[/mm] dann [mm]0=\overline{0}=\overline{p(z_0)}=p(\overline{z_0})[/mm], also ist auch [mm]\overline{z_0}[/mm] Nullstelle von [mm]p[/mm]
Gruß
schachuzipus
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Hallo monstre123,
> nein ich habe nicht p(*z) ausgerechnet, ich weiß gar nicht
> wie das geht.
Na, ihr werdet doch in der VL Rechenregeln für die komplexe Konjugation eingeführt haben ...
Was du hier im wesentlichen brauchst, ist
1) [mm] $\overline{z_1\cdot{}z_2}=\overline{z_1}\cdot{}\overline{z_2}$ [/mm] für [mm] $z_1,z_2\in\IC$
[/mm]
Also induktiv [mm] $\overline{z^n}=\overline{z}^n$ [/mm] für [mm] $z\in\IC$ [/mm] und [mm] $n\in\IN$
[/mm]
2) [mm] $\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}$ [/mm] für [mm] $z_1,z_2\in\IC$
[/mm]
3) [mm] $\overline{x}=x$ [/mm] für [mm] $x\in\IR$
[/mm]
Mit anderen Worten: Die komplexe Konjugation ist ein [mm] $\IC$-Automorphismus, [/mm] der [mm] $\IR$ [/mm] festlässt
Damit berechne nun [mm] $p(\overline{z_0})$
[/mm]
Einfach einsetzen und die Rechnenregeln anwenden.
Vergleiche mit [mm] $\overline{p(z_0)}$
[/mm]
Hat Fred alles geschrieben, du musst einfach mal anfangen ...
Gruß
schachuzipus
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