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| Aufgabe | | Wo liegen alle komplexen Zahlen z mit |z+2+i| [mm] \le [/mm] |z-4-2i|? Beschreiben Sie diese Menge als Gleichung und deuten Sie sie geometrisch. |
Hallo Leute,
bin gerade bei folgender Aufgabe stecken geblieben. Mein Ansatz:
z = x +ib:
|x+ib+2+1| [mm] \le [/mm] |x+ib-4-2i|
= |(x+2) + i(b+1)| [mm] \le [/mm] |(x-4) + i(b-2)| |²
= (x+2)² - (b+1)² [mm] \le [/mm] (x-4)² - (b-2)²
Wär dass schon die Lösung? Meine Idee war, dass die Ungleichung jetzt zwei Kugelmittelpunkte beschreibt. Nur fällt es mir schwer das Ergebnis noch weiter zu deuten.
Vielen Dank!
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Du hast einen entscheidenden Fehler gemacht. Es gilt:
[mm]\left| a + \operatorname{i} b \right|^2 = a^2 + b^2[/mm]
Nicht zu verwechseln mit
[mm]\left( a + \operatorname{i} b \right)^2 = a^2 + 2 \operatorname{i} ab - b^2[/mm]
Übrigens empfehle ich bei solchen Aufgaben auf die Mittelstufengeometrie eines Gymnasiums zurückzugreifen. Dann braucht man nämlich nicht rechnen.
[mm]\left| z - a \right| = \text{Abstand von} \ z \ \text{und} \ a[/mm]
[mm]\left| z - a \right| = \left| z - b \right|[/mm]
Zugehörige Frage: Für welche Zahlen (Punkte der Gaußschen Zahlenebene) ist der Abstand vom Punkt [mm]a[/mm] derselbe wie vom Punkt [mm]b[/mm]?
Und wenn du die Frage für [mm]=[/mm] beantwortet hast, hast du sie auch gleich für [mm]\leq[/mm].
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Danke Leopold_Gast,
Also wäre es bei:
$ [mm] \left| z - a \right| [/mm] = [mm] \left| z - b \right| [/mm] $
doch ein Kreis mit dem Radius $ [mm] \left| z - a \right| [/mm] $ oder? Und bei $ [mm] \leq [/mm] $ wäre es der Kreisinhalt?
Vielen Dank!
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> Danke Leopold_Gast,
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> Also wäre es bei:
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> [mm]\left| z - a \right| = \left| z - b \right|[/mm]
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> doch ein Kreis mit dem Radius [mm]\left| z - a \right|[/mm] oder?
Nein. Die Menge der Punkte z der Ebene , welche von zwei
gegebenen Punkten a und b gleichen Abstand haben, ergibt
geometrisch betrachtet eine Gerade.
Der rechnerische Weg mit Real- und Imaginärteil ist aber
auch nicht schwierig und jedenfalls auch zu empfehlen:
doppelt genäht hält besser !
LG Al-Chw.
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