Komplexe Wurzel < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:25 Di 14.05.2013 | | Autor: | BamPi |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion w: [mm] \IC \to \IC, [/mm] die z auf diejenige komplexe Quadratwurzel von z abbildet, deren Argument kleiner als [mm] \pi [/mm] ist.
a) Berechnen Sie w(z) für die Stellen [mm] z\in \{0,1,i,-1,-i\}
[/mm]
b) Suchen Sie in der komplexen Zahlenebene zu jedem [mm] \delta [/mm] > 0 ein [mm] z\in\IC [/mm] mit |z-1| < [mm] \delta [/mm] und |w(z)-w(1)|>1
c) Ist w stetig ? |
Hallo,
leider komme ich schon erst garnicht auf die nicht gegebene Abbildung w(z).
Wenn mein Argument kleiner als [mm] \pi [/mm] sein muss, so kann ich einfach ein beliebiges [mm] \phi [/mm] < [mm] \pi [/mm] nehmen ? Also z.B. [mm] \phi=arg=\pi/2 [/mm] ?
Meine Funktion muss ja in der Eulerschen Darstellung sein !? Also [mm] b=r*e^{i*\phi} [/mm] mit [mm] \phi [/mm] < [mm] \pi
[/mm]
|
|
| |
|
> Gegeben sei die Funktion w: [mm]\IC \to \IC,[/mm] die z auf
> diejenige komplexe Quadratwurzel von z abbildet, deren
> Argument kleiner als [mm]\pi[/mm] ist.
(Zu sagen wäre wohl auch noch, dass dieses Argument
größer oder gleich null sein soll !!)
> a) Berechnen Sie w(z) für die Stellen [mm]z\in \{0,1,i,-1,-i\}[/mm]
>
> b) Suchen Sie in der komplexen Zahlenebene zu jedem [mm]\delta[/mm]
> > 0 ein [mm]z\in\IC[/mm] mit |z-1| < [mm]\delta[/mm] und |w(z)-w(1)|>1
> c) Ist w stetig ?
> Hallo,
>
> leider komme ich schon erst garnicht auf die nicht gegebene
> Abbildung w(z).
Nun, die Abbildung ist eben so definiert, dass sie einer
komplexen Zahl z diejenige komplexe Zahl w zuordnet,
für die [mm] w^2=z [/mm] gilt und für deren Argument (Winkel) [mm] \phi [/mm]
außerdem die Bedingung $\ [mm] 0\le\phi<\pi$ [/mm] gilt.
> Wenn mein Argument kleiner als [mm]\pi[/mm] sein muss, so kann ich
> einfach ein beliebiges [mm]\phi[/mm] < [mm]\pi[/mm] nehmen ? Also z.B.
> [mm]\phi=arg=\pi/2[/mm] ? ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Nein, natürlich nicht ! Es muss jedenfalls gelten, dass
[mm] $2*\phi-arg(z)\ [/mm] =\ [mm] k*\,2\,\pi$ [/mm] , wobei k ganzzahlig ist.
LG , Al-Chw.
>
> Meine Funktion muss ja in der Eulerschen Darstellung sein
> !? Also [mm]b=r*e^{i*\phi}[/mm] mit [mm]\phi[/mm] < [mm]\pi[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:29 Di 14.05.2013 | | Autor: | BamPi |
Sorry ich steig nicht so wirklich durch wie ich nun auf meine Funktion kommen könnte.
Ich würde einfach [mm] w(z)=\wurzel{r}*e^{i*\phi/2} [/mm] setzen und diese komplexe Wurzel lösen mit der Bedingung, dass [mm] 0\le\phi<\pi
[/mm]
Wie soll ich dazu aber die Wurzeln an der Stelle [mm] z\in\{0,1,-1,i,-i\} [/mm] berechnen ?
|
|
|
| |
|
> Sorry ich steig nicht so wirklich durch wie ich nun auf
> meine Funktion kommen könnte.
Die Funktion ist ja schon definiert !
> Ich würde einfach [mm]w(z)=\wurzel{r}*e^{i*\phi/2}[/mm] setzen und
> diese komplexe Wurzel lösen mit der Bedingung, dass
> [mm]0\le\phi<\pi[/mm]
Wenn z in der Form $\ z\ =\ [mm] r*e^{i*\phi}$ [/mm] gegeben ist,
kannst du tatsächlich $\ w(z)\ =\ [mm] R*e^{i*\Phi}$ [/mm] definieren
durch die Festsetzungen $\ [mm] R:=\sqrt{r}$ [/mm] und [mm] $\Phi:=\left(\phi/2\right)mod\ \pi$
[/mm]
> Wie soll ich dazu aber die Wurzeln an der Stelle
> [mm]z\in\{0,1,-1,i,-i\}[/mm] berechnen ?
Das sind doch dann ein paar simple Beispiele,
alle mit r=0 (und R=0) bzw. r=1 (und also auch R=1)
und den Winkeln (undefiniert), 0, [mm] \pi, \pi/2, -\pi/2 [/mm] .
LG , Al-Chw.
|
|
|
|
