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Forum "komplexe Zahlen" - Komplexe Zahl Radizieren
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Komplexe Zahl Radizieren: Ansatz fehlt
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:24 So 09.09.2012
Autor: Lewser

Aufgabe
[mm] z^3=-8j [/mm]

In meiner Formelsammlung steht nur eine Formel für komplexe Zahlen, deren Realteil größer Null ist. Wie könnte der Ansatz für r=0 sein und was wäre, wenn r < 0 ist?

        
Bezug
Komplexe Zahl Radizieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:29 So 09.09.2012
Autor: Valerie20

Hi!

> [mm]z^3=-8j[/mm]
>  In meiner Formelsammlung steht nur eine Formel für
> komplexe Zahlen, deren Realteil größer Null ist. Wie
> könnte der Ansatz für r=0 sein und was wäre, wenn r < 0
> ist?

Es ist [mm] $e^{j\pi}=-1$ [/mm]

und [mm] $j=e^{j\frac{\pi}{2}}$ [/mm]

Schreibe das also als:

[mm] $z^3=(-1)\cdot 8\cdot e^{j\frac{\pi}{2}}$ [/mm]

Valerie


Bezug
        
Bezug
Komplexe Zahl Radizieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:12 So 09.09.2012
Autor: Marcel

Hallo,

> [mm]z^3=-8j[/mm]
>  In meiner Formelsammlung steht nur eine Formel für
> komplexe Zahlen, deren Realteil größer Null ist. Wie
> könnte der Ansatz für r=0 sein und was wäre, wenn r < 0
> ist?

was ist denn nun bei Dir [mm] $r\,$? [/mm] Der Realteil?
(Das ist eine schlechte Wahl, weil man eine komplexe Zahl auch in
Polardarstellung schreiben kann - prinzipiell hat Valerie das gemacht,
bzw. sie hat []die eulersche Formel benutzt.
Hätte man auch für [mm] $z\,$ [/mm] machen können, und dann kommt
sowas wie "die Länge von [mm] $z\,$" [/mm] ins Spiel - denn man kann für $z [mm] \not=0$ [/mm]
auf [mm] $z/|z|\,$ [/mm] die eulersche Formel anwenden. Nicht selten schreibt man
aus etwa geometrischen Gründen dann [mm] $r:=|z|\,.$ [/mm] Übrigens erkennt man
aus der Gleichung oben sofort, dass $z [mm] \not=0$ [/mm] gelten muss: Warum?)

Neben Valeries Lösung kannst Du auch so vorgehen (ganz elementar):
Schreibe $z=x+y [mm] \cdot [/mm] j$ mit $x,y [mm] \in \IR$ [/mm] (ich nehme an, dass ihr die imaginäre
Einheit mit [mm] $j\,$ [/mm] bezeichnet - das macht man meist in der Physik, in der
Mathematik heißt sie meist [mm] $i\,$). [/mm]

Dann steht da
[mm] $$z^3=-8j$$ [/mm]
[mm] $$\gdw (x+y*j)^3=-8j$$ [/mm]

Linkerhand ausmultiplizieren (oder allgemeine binomische Formel benutzen),
dann die Kenntnis [mm] $j^2=-1\,$ [/mm] linkerhand verarbeiten und nach Real- und
Imaginärteil sortieren. Dann steht linkerhand sowas wie
[mm] $$r_1+r_2*j$$ [/mm]
mit [mm] $r_1=r_1(x,y),\;r_2=r_2(x,y) \in \IR$ [/mm] und das soll [mm] $=-8j\,$ [/mm] sein. Der Vergleich
mit [mm] $-8*j=0+(-8)\cdot [/mm] j$ liefert dann [mm] $r_1=0$ [/mm] und [mm] $r_2=-8\,,$ [/mm]
(zwei komplexe Zahlen stimmen genau dann überein, wenn sie im Real-
und Imaginärteil übereinstimmen - das folgt sofort daraus, dass eine
komplexe Zahl genau dann Null ist, wenn sie sowohl den Realteil $0 [mm] \in \IR$ [/mm] als auch den Imaginärteil $0 [mm] \in \IR$ [/mm] hat!!)
und damit bekommst Du dann ein GLS für die Variablen $x,y [mm] \in \blue{\IR}\,,$ [/mm] welches Du zu lösen hast.

Gruß,
  Marcel

Bezug
        
Bezug
Komplexe Zahl Radizieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:11 So 09.09.2012
Autor: HJKweseleit

[mm] z^3=-8j=8*(-j)=8*e^{\bruch{3}{2}\pi*j+k*2*\pi*j} [/mm]
Nun alles hoch [mm] \bruch{1}{3}: [/mm]

[mm] z=2*e^{\bruch{1}{2}\pi*j+k*\bruch{2}{3}*\pi*j}=2*j*e^{k*\bruch{2}{3}*\pi*j} [/mm]

Man erhält 3 verschiedene Lösungen für k=1, 2 und 3, die sich für andere k nur wiederholen, also

[mm] z_1=2*j*e^{1*\bruch{2}{3}*\pi*j}=2*j*e^{\bruch{2}{3}*\pi*j} [/mm]
[mm] z_2=2*j*e^{2*\bruch{2}{3}*\pi*j}=2*j*e^{\bruch{4}{3}*\pi*j} [/mm]
[mm] z_3=2*j*e^{3*\bruch{2}{3}*\pi*j}=2*j*e^{\bruch{6}{3}*\pi*j}=2*j [/mm]

Bezug
                
Bezug
Komplexe Zahl Radizieren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:22 Mo 10.09.2012
Autor: Lewser

Hallo,

vielen Dank euch allen! Ich habe bisher noch nicht geantwortet, weil ich parallel andere Aufgaben löse, werde mir die Antworten im Laufe des Tages in Ruhe durchlesen.

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