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| Aufgabe | | Bestimmen Sie alle Komlexen Zahlen mit [mm] \overline{z} [/mm] =z² |
ALso mein Ansatz ist diese Überlegung:
[mm] \overline{z} [/mm] =z² [mm] \gdw z\overline{z}= [/mm] z²z [mm] \gdw [/mm] |z|= z³ [mm] \gdw [/mm] a²+b²= z³
jetzt weis ich aber nicht wirklich wie ich weiter machen soll.
darf ich schreiben : a+b= z² [mm] \gdw [/mm] z= [mm] \sqrt{a+b} [/mm] ? und das ist dan meine Lösung?
mfg Seamus
Ich habe diese Frage in keinen anderen Forum gestellt!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:39 Di 28.04.2009 | | Autor: | abakus |
> Bestimmen Sie alle Komlexen Zahlen mit [mm]\overline{z}[/mm] =z²
> ALso mein Ansatz ist diese Überlegung:
>
> [mm]\overline{z}[/mm] =z² [mm]\gdw z\overline{z}=[/mm] z²z [mm]\gdw[/mm] |z|= z³ [mm]\gdw[/mm]
Hallo,
[mm] z\overline{z} [/mm] ist nicht |z|, sondern [mm] |z|^2.
[/mm]
Das ergibt aber auf alle Fälle eine rein reelle Zahl. Also muss auch [mm] z^3 [/mm] reell sein (und im übrigen den Betrag 1 haben!)
Gruß Abakus
> a²+b²= z³
>
> jetzt weis ich aber nicht wirklich wie ich weiter machen
> soll.
>
> darf ich schreiben : a+b= z² [mm]\gdw[/mm] z= [mm]\sqrt{a+b}[/mm] ? und das
> ist dan meine Lösung?
>
> mfg Seamus
>
> Ich habe diese Frage in keinen anderen Forum gestellt!
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stimmt, das Quadrat vom Betrag habe ich vergessen!
Aber wieso ist der Betrag von z³ =1 ? und in wie fern hilft es mir weiter das z³ reell ist?
dazu habe ich mal folgendes ausgerechnet: |z|²= z³
[mm] \gdw [/mm] a²+b² = a³+3a²ib -3ab² +ib³
was mir aber auch nicht wirklich weiter hilft z zu bestimmen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:29 Di 28.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Eine Lösung von
(*) $ [mm] \overline{z} =z^2$
[/mm]
ist $z=0$. Jetzt sei $z [mm] \not= [/mm] 0$ eine Lösung von (*). Dann:
$|z| =| [mm] \overline{z}| =|z|^2$, [/mm] also $|z|=1$
Multiplikation von (*) mit $z$ liefert dann:
$1 = [mm] |z|^2 [/mm] = z [mm] \overline{z} [/mm] = [mm] z^3$
[/mm]
Schreibe $z$ in der Form $z = [mm] e^{i \phi}$ [/mm] .
Jetzt bist Du dran
FRED
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Also ist 1= z³
[mm] \gdw [/mm] 1= [mm] (cos\alpha [/mm] + [mm] isin\alpha)³= cos3\alpha +isin3\alpha
[/mm]
also muss z die Form haben z= a+ib b=0 und a=0 oder a= -1/2 [mm] b=\sqrt{3}/2
[/mm]
oder a= 1 und b=0
Das müsste ja dann die endgültige Lösung sein!?
Danke für die Hilfe!
lg Seamus
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Hallo seamus321,
> Also ist 1= z³
> [mm]\gdw[/mm] 1= [mm](cos\alpha[/mm] + [mm]isin\alpha)³= cos3\alpha +isin3\alpha[/mm]
>
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> also muss z die Form haben z= a+ib b=0 und a=0 oder a=
> -1/2 [mm]b=\sqrt{3}/2[/mm]
> oder a= 1 und b=0
Die Lösung a=b=0 kann nicht stimmen.
Die anderen beiden Lösungen stimmen.
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> Das müsste ja dann die endgültige Lösung sein!?
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> Danke für die Hilfe!
>
> lg Seamus
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:33 Di 28.04.2009 | | Autor: | seamus321 |
das a=b=0 war auf die endgültige Antwort bezogen also für [mm] Z\overline [/mm] =z²
0-0i= (0+0i)² was natürlich richtig ist... es sollte nichts mehr mit der obigen Gleichung zu tun haben!
mfg Seamus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Di 28.04.2009 | | Autor: | BBFan |
Überlege dir doch man, das z² eine reelle Zahl ist und was die Konjugation geometrisch macht. Dann kommst du ohne zu rechnen auf die Lösung!
Gruss
BBFan
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