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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:51 Di 16.09.2008 | | Autor: | RuffY |
| Aufgabe | Gebe [mm] \bruch{5+12i}{12-5i} [/mm] in der kartesischen Form an.
Gebe alle Lösungen [mm] z^{5}=-32 [/mm] in der trigonometrischen Form an. |
Hallo,
bei der ersten Aufgabe habe ich, zur Kontrolle, als Ergebnis
z=0,71+0,70i
bei der zweiten Aufgabe habe ich
z=32*(cos(180)+i*sin(180))
Irgendwie zweifele ich an den Lösungen... könnt ihr helfen?
Grüße Sebastian
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Hallo Sebastian,
> Gebe [mm]\bruch{5+12i}{12-5i}[/mm] in der kartesischen Form an.
>
> Gebe alle Lösungen [mm]z^{5}=-32[/mm] in der trigonometrischen Form
> an.
> Hallo,
>
> bei der ersten Aufgabe habe ich, zur Kontrolle, als
> Ergebnis
> z=0,71+0,70i ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Nein, wie hast du's denn gerechnet?
Um den komplexen Nenner loszuwerden, erweitere den Bruch mit dem konjugiert Komplexen des Nenners, also mit [mm] $12\blue{+}5i$
[/mm]
>
> bei der zweiten Aufgabe habe ich
> z=32*(cos(180)+i*sin(180))
>
> Irgendwie zweifele ich an den Lösungen... könnt ihr
> helfen?
Es muss doch 5 Lösungen geben ...
Wieder die Frage: wie hast du gerechnet?
Am Besten immer Ansätze mitposten.
Ihr habt mit Sicherheit eine Formel für die Berechnung der n-ten Wurzeln einer kopmplexen Zahl, also einer Gleichung der Form [mm] $z^n=w$ [/mm] mit [mm] $w\in\IC$ [/mm] gehabt.
Schlage die unbedingt nach und rechne nochmal, hier auch zwei Wikipedia-Links:
![[]](/images/popup.gif) (1) zu komplexen Zahlen und (2) zu Wurzeln
>
> Grüße Sebastian
Zurück 
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:27 Di 16.09.2008 | | Autor: | RuffY |
ich habe das erste gerechnet, indem ich die zwei komplexen Zahlen in trigonometrischer Form dividiert habe.
Das zweiter habe ich in ähnliche Form gerechnet, das müsste doch auch so gehen?
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Hallo nochmal,
> ich habe das erste gerechnet, indem ich die zwei komplexen
> Zahlen in trigonometrischer Form dividiert habe.
Puh, das ist ja ein höllischer Aufwand, ganz abgesehen von der Fehleranfälligkeit
Du hast erst Zähler und Nenner in trigon. Form umgewandelt, die dann dividiert und dann wieder zurück umgewandelt in kartes. Form?
Um Längen einfacher ist der oben vorgeschlagene Weg mit dem Erweitern ...
Es kommt ein wunderbar einfaches und "schönes" Ergebnis raus ...
> Das zweiter habe ich in ähnliche Form gerechnet, das
> müsste doch auch so gehen?
Nein, es gibt 5 Lösungen der Gleichung [mm] $z^5=-32$
[/mm]
[mm] $z_0=...$
[/mm]
[mm] $z_1=...$
[/mm]
[mm] $z_2=..$
[/mm]
[mm] $z_3=...$
[/mm]
[mm] $z_4=...$
[/mm]
Schlage die Formel für die n-te Wurzel nach .. (siehe link)
Wenn du deine Lösung für z mal vereinfachst, steht da $z=-32$
Damit ist [mm] $z^5=(-32)^5\neq [/mm] -32$
Passt also nicht ..
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:13 Di 16.09.2008 | | Autor: | RuffY |
Hallo noch mal,
ich habe mal anhand von wiki gerechnet:
[mm] z=\bruch{5}{17}+\bruch{169}{119}*i
[/mm]
das zweite kommt gleich...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:19 Di 16.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ruffy!
Das stimmt leider nicht. Du sollst hier doch mit $(12 \ [mm] \red{+} [/mm] \ 5i)$ erweitern:
[mm] $$\bruch{5+12i}{12-5i} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(5+12i)*(12+5i)}{(12-5i)*(12+5i)} [/mm] \ = \ ...$$
Am Ende sollte dann das angekündigte "einfache Ergebnis" mit $i_$ herauskommen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:29 Di 16.09.2008 | | Autor: | RuffY |
...dann poste ich noch mal die Schritte:
[mm] \bruch{5+12i}{12-5i}*\bruch{12+5i}{12+5i}=
[/mm]
[mm] \bruch{60+25i+144i-25}{144+25}=
[/mm]
[mm] \bruch{35}{169}+i
[/mm]
Sooo...ist das korrekt?
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Servus,
> ...dann poste ich noch mal die Schritte:
>
> [mm]\bruch{5+12i}{12-5i}*\bruch{12+5i}{12+5i}=[/mm]
>
> [mm]\bruch{60+25i+144i-25}{144+25}=[/mm]
Attention, attention: [mm] $12i\cdot{}5i=-60$ [/mm] und nicht $-25$
>
> [mm]\bruch{35}{169}+i[/mm]
>
> Sooo...ist das korrekt?
Hmmnjjjnein
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:51 Di 16.09.2008 | | Autor: | RuffY |
[mm] \bruch{60+25i+144i-60}{144+25}=
[/mm]
[mm] \bruch{169i}{144+25}= [/mm] i ...
sooo für Aufgabe 2:
[mm] z^5=-32
[/mm]
bedeutet doch, dass die trigonometrische Form lautet:
[mm]=32*(\cos 180 +i*\sin 180)[/mm]
allgemeine Form lautet doch:
[mm]=r^{k}*(\cos (k*\alpha) +i*\sin (k*\alpha))[/mm]
für k= n-1= 0,1,2,3,4
so richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:01 Di 16.09.2008 | | Autor: | abakus |
> [mm]\bruch{60+25i+144i-60}{144+25}=[/mm]
>
> [mm]\bruch{169i}{144+25}=[/mm] i ...
>
>
> sooo für Aufgabe 2:
>
> [mm]z^5=-32[/mm]
>
> bedeutet doch, dass die trigonometrische Form lautet:
>
> [mm]=32*(\cos 180 +i*\sin 180)[/mm]
>
> allgemeine Form lautet doch:
> [mm]=r^{k}*(\cos (k*\alpha) +i*\sin (k*\alpha))[/mm]
Das wäre die Formel für [mm] z^k.
[/mm]
Du brauchst die Umkehrung.
Im konkreten Fall also die 5. Wurzel aus 32 und das Argument [mm] \bruch{\alpha+k*360°}{k}
[/mm]
>
> für k= n-1= 0,1,2,3,4
>
> so richtig?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:24 Di 16.09.2008 | | Autor: | RuffY |
Gut, dann:
[mm] =\wurzel[5]{32}*(\cos (180+\bruch{k*360}{k})+i\*\sin (180+\bruch{k*360}{k}))
[/mm]
k=0 [mm] \Rightarrow [/mm] ..?
k=1 [mm] \Rightarrow =\wurzel[5]{32}*(\cos (180+\bruch{360}{1})+i\*\sin (180+\bruch{360}{1})) [/mm] = [mm] \wurzel[5]{32} [/mm] ..?
k=2 [mm] \Rightarrow =\wurzel[5]{32}*(\cos (180+\bruch{2*360}{2})+i\*\sin (180+\bruch{2*360}{2})) [/mm] =
k=3 [mm] \Rightarrow =\wurzel[5]{32}*(\cos (180+\bruch{3*360}{3})+i\*\sin (180+\bruch{3*360}{3})) [/mm] =
k=4 [mm] \Rightarrow =\wurzel[5]{32}*(\cos (180+\bruch{4*360}{4})+i\*\sin (180+\bruch{4*360}{4}))
[/mm]
Ich weiß nicht, ist das richtig...?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:33 Di 16.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sebastian!
Du hast hier die  Moivre-Formel falsch notiert, was die Argumente der Winkelfunktionen geht. Es muss heißen:
[mm] $$\wurzel[\red{n}]{z} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[\red{n}]{r}*\left[\cos\left(\bruch{\varphi+k*360°}{\red{n}}\right)+i*\sin\left(\bruch{\varphi+k*360°}{\red{n}}\right)\right]$$
[/mm]
In unserem Falle also:
[mm] $$\wurzel[\red{5}]{z} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[\red{5}]{32}*\left[\cos\left(\bruch{180°+k*360°}{\red{5}}\right)+i*\sin\left(\bruch{180°+k*360°}{\red{5}}\right)\right]$$
[/mm]
Nun die Werte $k \ = \ 0,..., 4$ einsetzen.
Gruß
Loddar
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