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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:45 Do 01.11.2007 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | 1. Verwandle exakt in die Normalform : z = 2cis(7pi/6)
2. Verwandle exakt in die Polarform (Bogenmass) : z = -2-2?3xi
5. Berechne sämtliche Lösungen von [mm] 32z^{6}+16z^{5}+8z^{4}+4z^{3}+ 2z^{2}+z [/mm] = 0
8. Welches ist das Polynom niedrigsten Grades, das die Zahlen 1,1-im 1+i und -3 als Nullstellen hat ?
9. Stelle untenstehende Zahlenmengen graphisch dar:
a)z?C 0<arg(z)>pi/4 und |z|> 2
b)z?C |z| <3 und lm(z) > 1
10. Bestimme die Summe und das Produkt aller Lösungen der Gleichung [mm] z^{4}=-16 [/mm] |
Zu 1: ich weiss, wie ich von der Polarform in die Normalform umwandle, wie bewerkstellige ich dies allerdings nur bzws ohne taschenrechner und nur mit pi's ?
Zu 2: Ich weiss, wie ich von der Normalerform in die Polarform umwandle, allerdings verstehe ich nicht, wie ich dies 'exakt' bewerkstelligen soll ?
Zu 5: wenn ich als x1= 0 einsetze scheint das Polynom zu stimmen, also teile ich durch z und erhalte dann z-2=0 bzw x2 = -0,5 ... und weiter ?
Zu 8: Nullstellen würde dann heissen z+1= 0 --> z=1 ---> (z-1) ist ein faktor ?
Zu 9 : leider keinen schimmer
10. leider auch keinen schimmer
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum geposted
und bin sehr dankbar für jeden mögliche Hilfestellung/Denkansatz .
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Hallo!
1)
ich verstehe deine Formel nicht so ganz, vermutlich meinst du [mm] 2e^{i*7/6\pi}
[/mm]
Nun, denk mal drüber nach, was das zeichnerisch in der imaginären Zahlenebene bedeutet. [mm] 7/6\pi [/mm] ist gleichbedeutend mit [mm] 1/6\pi [/mm] und das entspricht 30° im Gradmaß. Das ist ein spezieller Winkel, für den der sin den Wert 1/2 annimmt, beim cos ists etwas komplizierter. Schau dir mal diese ![[]](/images/popup.gif) Tabelle auf Wikipedia an.
2)
Hier bin ich erst recht ratlos, was deine Formel angeht. Mit dem EXAKT ist auf jeden Fall gemeint, daß du eben nicht den Taschenrechner nehmen sollst und so irgendwelche Kommazahlen hinschreiben sollst sondern eben vielfache von [mm] \pi [/mm] oder Wurzelausdrücke etc.
Ich vermute mal, der Winkel in dieser Aufgabe ist wieder so ein spezieller... Kleiner Tipp: Doch mal mit dem Taschenrechner den Winkel ausrechnen, und duch [mm] \pi [/mm] teilen, dann bekommst du den Vorfaktor...
5)
ZUnächst ist das richtig, z=0 ist eine Nullstelle, und du teilst dadurch. Was du danach meinst, ist mir nicht ganz klar, aber sofern x=-0,5 eine Nullstelle ist, mußt du anschließend eine Polynomdivision durch (z+0,5) machen. Versuche dann, weitere Lösungen zu erraten!
8)
Was meinst du mit z+1=0? Der rest ist allerdings richtig. Wenn 1 ne Nullstelle ist, ist (z-1)=0 und damit ist (z-1) ein Faktor deines Polynoms. Mach das mit den restlichen Nujllstellen auch, und multipliziere alle Faktoren miteinander.
9) Das ist eigentlich nicht schwer. arg(z) ist der Winkel in polardarstellung, und |z| der Betrag. Schnapp dir also einen Zirkel und zeichne nen Kreis mit Radius 2 um den Koordinatenursprung in der komplexen Zahlenebene. Gesucht sind Zahlen, deren Betrag größer ist, die also außerhalb des Kreises liegen. Und dann die Einschränkungen mit dem Winkel. Zeichne eine Linie im Winkel [mm] \pi/4 [/mm] (45°) ein! Die gesuchten Zahlen liegen zwischen der positiven, reellen Achse und dieser Line, jedoch außerhalb des Kreises. Diesen Bereich schraffierst du, und das wars.
Im zweiten Fall gehts ähnlich, zunächst ein Kreis zeichnen. Liegen die gesuchten Zahlen innerhalb oder außerhalb? Und dann: Was heißt das, der imaginärteil ist größer als 1? Auch hier must du ne Linie einzeichnen, aber wie?
10)
Hier sollte dir die polardarstellung helfen. Wenn man zwei imag. Zahlen multipliziert, addieren sich ihre Winkel, und ihre Längen multiplizieren sich.
Wenn du also eine Zahl [mm] R=r*e^{i\phi} [/mm] hast, wie sieht dann [mm] R^2 [/mm] und [mm] R^4 [/mm] aus? Du erkennst so ganz einfach, wie man die vierte Wurzel im komplexen zieht.
Beachte aber: -16 gibts so in polardarstellung nicht. Der Betrag ist immer positiv, also 16, und dazu kommt ein Winkel von [mm] \pi, [/mm] sodaß die Zahl eigentlich [mm] 16e^{i\pi} [/mm] lautet.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:31 Mo 05.11.2007 | | Autor: | kushkush |
Danke vielmals für deine Antwort !
Tut mir leid für die verspätete Reaktion aber ich konnte das Board ein Weilchen nicht erreichen ...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:23 Do 01.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo kushkush!
Oder meinst Du hier bei der 1. Aufgabe $z \ = \ [mm] 2*\cos\left(\bruch{7}{6}*\pi\right)$ [/mm] ??
Dann brauchst Du doch nur den Wert [mm] $\cos\left(\bruch{7}{6}*\pi\right)$ [/mm] mittels Taschenrechner ausrechnen.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:30 Mo 05.11.2007 | | Autor: | kushkush |
Danke vielmals für die Hilfe!
Tut mir leid für die etwas verspätete Nachricht aber das Board war bei mir in letzter Zeit unzumutbar langsam ...
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