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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:10 So 26.12.2004 | | Autor: | maria |
Hallo!! Weiß jemand, wo ich Informatinsmaterial im Internet über Lösung für Sonderfälle(komplexer Zahlen) finde, also zur Lösung von [mm] z^n=c. [/mm] Das was wir in der Vorlesung gemacht haben verstehe ich nicht und in meinen Büchern steht nix darüber. Gegoogelt hab ich auch schon ein bissl. Fehlschlag! Über komplexe Zahlen gibts zwar viel, aber nicht über Lösung von Sonderfällen. Habt ihr ne Idee?
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Hallo,
die Gleichung [mm]z^{n}=c[/mm] ist einfach zu lösen.
Hier gilt die Eulersche Formel:
[mm]e^{i\phi}=cos(\phi} + i sin(\phi)[/mm]
Hieraus folgt:
[mm] c = r e^{i\phi} = r ( cos(\phi) + i sin(\phi) ) = a + bi[/mm]
Dann gilt:
[mm] z^{n} = c = e^{i\phi}[/mm]
=> [mm] z = \wurzel[n]{c} = \wurzel[n]{r} e^{i \bruch{\phi}{n} }[/mm]
=> [mm] z_k = \wurzel[n]{r} e^{i \bruch{\phi + 2k\pi}{n} } = \wurzel[n]{r} ( cos(\bruch{\phi + 2k\pi}{n}) + i sin(\bruch{\phi + 2k\pi}{n})[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:25 So 26.12.2004 | | Autor: | maria |
Hallo. Danke erstmal, aber ich verstehe noch nicht so ganz, was du da geschrieben hast.
$ c = r [mm] e^{i\phi} [/mm] $ wieso? [mm] c=z^n [/mm] und nicht c=z, oder? verstehst du was ich mein?
$ [mm] z^{n} [/mm] = c = [mm] e^{i\phi} [/mm] $ das widerspricht dem, was du oben geschrieben hast $ c = r [mm] e^{i\phi} [/mm] $, oder?
$ z = [mm] \wurzel[n]{c} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{r} e^{i \bruch{\phi}{n} } [/mm] $ auch hier verstehe ich nicht, wie du auf das c kommst. Der Rest ist logisch. Bitte befreie mich von meiner Unwissenheit!! Das wäre sehr nett!
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Ich hoffe, ich kann deine Fragen an ihn auch vernünftig beantworten.
Zuerstmal: eine komplexe Zahl [mm]c\in\IZ[/mm] lässt sich auch in der Form [mm]c=r \cdot e^{i \cdot \phi}[/mm] schreiben, wobei [mm]r[/mm] der Betrag, und [mm]\phi[/mm] das Argument der komplexen Zahl ist.
Gesucht sind ja hier alle komplexen Zahlen z, für die gilt: [mm]z^n=c[/mm].
Und diese Zahl (ob man sie jetzt [mm]z^n[/mm] schreibt, oder c, ist egal) kann man eben umschreiben als [mm]z^n = c = r \cdot e^{i \cdot \phi}[/mm].
Zuerstmal ist also [mm]z^n=r \cdot e^{i \cdot \phi}[/mm], und erst im Folgenden wird bestimmt, welche Werte das z annehmen kann.
Ich hoffe, ich habe diese erste Frage von dir richtig verstanden.
> [mm]z^{n} = c = e^{i\phi}[/mm] das widerspricht dem, was du oben
> geschrieben hast [mm]c = r e^{i\phi} [/mm], oder?
Einen Widerspruch kann ich darin nicht finden, nur dass er einen Faktor r vergessen hat: [mm]z^{n} = c = r \cdot e^{i\phi}[/mm] müsste es richtig heißen, dann gibt's bis hierhin keinen Widerspruch.
> [mm]z = \wurzel[n]{c} = \wurzel[n]{r} e^{i \bruch{\phi}{n} }[/mm]
> auch hier verstehe ich nicht, wie du auf das c kommst.
Auch hier ist es wieder nur eine Umformung: aus [mm]z^n=c[/mm] wird [mm]z=\wurzel[n]{c}[/mm], wobei immernoch [mm]c=r \cdot e^{i \cdot \phi}[/mm] ist.
Und was das k in der Gleichung soll: eine Gleichung vom Grad n wird dir n Lösungen liefern. Kannst das ja mal an [mm]z^3=1[/mm] oder [mm]z^6=1[/mm] ausprobieren.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:53 Mo 27.12.2004 | | Autor: | maria |
Dank an euch beiden. DIESES Thema hab ich jetzt durch eure Hilfe verstanden.
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