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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:48 Mi 05.12.2007 | | Autor: | Smex |
| Aufgabe | Sei [mm] w=\bruch{-1+ i \wurzel{3}}{2} \in \IC
[/mm]
(a) Zeige: [mm] w^2+w+1=0 [/mm] und [mm] w^3=1
[/mm]
(b) Sei E= [mm] \IC^\IC [/mm] ( die Menge aller Abbildungen [mm] \IC \to \IC) [/mm] als [mm] \IC [/mm] - Vektorraum aufgefasst. Für i=0,1,2 definiert man
[mm] E_i [/mm] = [mm] \{f \in E / f(wx) = w^i f(x) \forall x \in \IC \}
[/mm]
Zeige, dass [mm] E_i [/mm] ein Teilraum von E ist.
(c) Beweise: Es gilt [mm] E=E_0 \oplus E_1 \oplus E_2 [/mm] |
Also mit der (a) bin ich ohne Probleme klar gekommen nur mit den anderen beiden hab ich noch gewisse Probleme, denn ich kann ja über die Funktion f(x) eigentlich nichts aussagen, d.h. ich muss beweisen, dass w irgendwie [mm] w^i [/mm] oder 1 ist, aber da liegt eben mein Problem. Kann mir vieleicht jemand nen Tipp geben?
Vielen Dank
Gruß von Smex
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei [mm]w=\bruch{-1+ i \wurzel{3}}{2} \in \IC[/mm]
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> (a) Zeige: [mm]w^2+w+1=0[/mm] und [mm]w^3=1[/mm]
> (b) Sei E= [mm]\IC^\IC[/mm] ( die Menge aller Abbildungen [mm]\IC \to \IC)[/mm]
> als [mm]\IC[/mm] - Vektorraum aufgefasst. Für i=0,1,2 definiert man
>
> [mm]E_i[/mm] = [mm]\{f \in E / f(wx) = w^i f(x) \forall x \in \IC \}[/mm]
>
> Zeige, dass [mm]E_i[/mm] ein Teilraum von E ist.
> (c) Beweise: Es gilt [mm]E=E_0 \oplus E_1 \oplus E_2[/mm]
> Also mit
> der (a) bin ich ohne Probleme klar gekommen nur mit den
> anderen beiden hab ich noch gewisse Probleme, denn ich kann
> ja über die Funktion f(x) eigentlich nichts aussagen, d.h.
> ich muss beweisen, dass w irgendwie [mm]w^i[/mm] oder 1 ist, aber da
> liegt eben mein Problem. Kann mir vieleicht jemand nen Tipp
> geben?
Hallo,
ich würde da zunächst gar nicht so viel denken, sondern erstmal b) streng nach Vorschrift abhandeln.
Daß [mm] \IC^{\IC} [/mm] ein VR über [mm] \IC [/mm] ist, darfst Du hier als gegeben nehmen, zeigen mußt Du nun, daß für i=0,1,2
[mm] E_i [/mm] ein Teilraum von [mm] \IC^{\IC} [/mm] ist.
Was ist zu zeigen, wenn man die Unterraumeigenschaft zeigen möchte?
Bedenken mußt Du, daß die Vektoren, also Elemente des Vektorraumes, hier Funktionen sind. Wenn Du also über die Summe zweier Vektoren zeigen sollst daß sie auch in [mm] E_i [/mm] liegt, mußt Du zwei Funktionen aus [mm] E_i [/mm] hernehmen, deren Summe anschauen und prüfen, ob sie die Eigenschaft hat, die für die Elemente v. [mm] E_i [/mm] gefordert ist.
Ich hoffe, daß Du nun erste Versuche (oder mehr!) unternehmen kannst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:58 Mi 05.12.2007 | | Autor: | Smex |
Achso...
Ich muss also im Prinzip nur prüfen, ob [mm] E_i [/mm] bezüglich der Addition und Multiplikation abgeschlossen ist??
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:21 Mi 05.12.2007 | | Autor: | Smex |
Also ich habe jetzt: [mm] f(w(x+y))=w^i*(f(x+y))=w^i*(f(x)+f(y))=w^i*f(x)+w^i*f(y)=f(wx)+f(wy)
[/mm]
und
[mm] f(wax)=w^i*f(ax)=w^i*(a*f(x))=w^i*a*f(x)=a*f(wx)
[/mm]
Stimmt das?
Lg Smex
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> Also ich habe jetzt:
> [mm]f(w(x+y))=w^i*(f(x+y))=w^i*(f(x)+f(y))=w^i*f(x)+w^i*f(y)=f(wx)+f(wy)[/mm]
> und
> [mm]f(wax)=w^i*f(ax)=w^i*(a*f(x))=w^i*a*f(x)=a*f(wx)[/mm]
>
> Stimmt das?
Nein, was Du da tust, ist verkehrt.
Du betrachtest
>>> $ [mm] E_i [/mm] $ = $ [mm] \{f \in E / f(wx) = w^i f(x) \forall x \in \IC \} [/mm] $,
und ich schrieb:
"Bedenken mußt Du, daß die Vektoren, also Elemente des Vektorraumes, hier Funktionen sind. Wenn Du also über die Summe zweier Vektoren zeigen sollst daß sie auch in $ [mm] E_i [/mm] $ liegt, mußt Du zwei Funktionen aus $ [mm] E_i [/mm] $ hernehmen, deren Summe anschauen und prüfen, ob sie die Eigenschaft hat, die für die Elemente v. $ [mm] E_i [/mm] $ gefordert ist. "
Zu prüfen hast Du also, ob für [mm] f,g\in E_i [/mm] auch f+g in [mm] E_i [/mm] ist.
Woran erkennst Du das?
Indem Du prüfst, ob [mm] (f+g)(wx)=w^i(f+g)(x) [/mm] ist.
Es ist nach def. der Summe v. Funktionen
(f+g)(wx)=f(wx)+g(wx)=...=...
Versuch jetzt mal weiterzukommen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:24 Mi 05.12.2007 | | Autor: | Smex |
Achso... natürlich ich hab die falsche Bedingung bzw. ich hab nicht das nachgewiesen was ich sollte^^
Vielen Dank
Gruß Smex
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:03 Do 06.12.2007 | | Autor: | Smex |
Aber dann hab ich doch erst die Abgeschlossenheit unter der Addition nachgewiesen und muss jetzt noch die Abgeschlossenheit unter Skalarmultiplikation prüfen und dafür brauch ich doch trotzdem f(ax)=af(x), oder?
Gruß von Smex
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> Aber dann hab ich doch erst die Abgeschlossenheit unter der
> Addition nachgewiesen und muss jetzt noch die
> Abgeschlossenheit unter Skalarmultiplikation prüfen und
> dafür brauch ich doch trotzdem f(ax)=af(x), oder?
Nein.
Du brauchst, daß af [mm] \in E_i [/mm] ist,
daß also [mm] (af)(wx)=w^i(af)(x) [/mm] ist.
Ich glaube, daß es Dir noch nicht richtig klar ist, daß die betrachteten "Objekte" komplette Funktionen mit bestimmten Eigenschaften sind.
Du mußt testen, ob das Vielfache der Funktion f auch in [mm] E_i [/mm] liegt.
Gruß v. Angela
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> Achso...
> Ich muss also im Prinzip nur prüfen, ob [mm]E_i[/mm] bezüglich der
> Addition und Multiplikation abgeschlossen ist??
Genau. Und "nichtleer" natürlich.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:32 Do 06.12.2007 | | Autor: | Smex |
zur (b): Ich muss jetzt nachweisen, dass sich jedes x aus E als Summe von Elementen aus [mm] E_0, E_1 [/mm] und [mm] E_2 [/mm] darstellen lässt, oder?
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>>>> $ [mm] E=E_0 \oplus E_1 \oplus E_2 [/mm] $
> zur (b): Ich muss jetzt nachweisen, dass sich jedes x aus E
> als Summe von Elementen aus [mm]E_0, E_1[/mm] und [mm]E_2[/mm] darstellen
> lässt, oder?
Unter anderem.
Dann noch, daß [mm] E_i \cap E_j= \{0\} [/mm] für [mm] i\not=j
[/mm]
Gruß v. Angela
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