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Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen" - Komplexe Zahlen
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Komplexe Zahlen: Lösung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:12 Di 01.12.2009
Autor: hienli

Aufgabe
Zu [mm] c=a+ib\in\IC [/mm] finde [mm] z=x+iy\in\IC [/mm] mit [mm] z^{2}=c. [/mm]

Hallo zusammen,

Könnt ihr mir bitte helfen.
Es sollte eigentlich nicht so schwer sein, aber ich habe meine liebe Mühe mit komplexen Zahlen!!

Wer kann mir das aufschreiben, bitte??

Was erfüllt die Gleichung [mm] x^{2}-y^{2}+2ixy=a+ib [/mm] ??

Vielen herzlichen Dank!
Gruss,
Hienli

        
Bezug
Komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:17 Di 01.12.2009
Autor: felixf

Hallo!

> Zu [mm]c=a+ib\in\IC[/mm] finde [mm]z=x+iy\in\IC[/mm] mit [mm]z^{2}=c.[/mm]
>  Hallo zusammen,
>  
> Könnt ihr mir bitte helfen.
>  Es sollte eigentlich nicht so schwer sein, aber ich habe
> meine liebe Mühe mit komplexen Zahlen!!
>  
> Wer kann mir das aufschreiben, bitte??
>  
> Was erfüllt die Gleichung [mm]x^{2}-y^{2}+2ixy=a+ib[/mm] ??

Es muss $a = [mm] x^2 [/mm] - [mm] y^2$ [/mm] und $b = 2 x y$ sein.

Versuch das doch mal nach $x$ und $y$ aufzuloesen (evtl. mit ein paar Fallunterscheidungen).

Ist etwa $y [mm] \neq [/mm] 0$, so kannst du $b = 2 x y$ nach $x$ aufloesen und in die andere Gleichung einsetzen.

LG Felix


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Bezug
Komplexe Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:40 Di 01.12.2009
Autor: hienli

Aufgabe
Zeige: Für alle [mm] x\in\IR [/mm] mit [mm] sin\bruch{x}{2}\not=0 [/mm] und [mm] n\in\IN [/mm] mit [mm] n\ge1 [/mm] gilt:

[mm] \bruch{1}{2}+\summe_{i=1}^{n}coskx=\bruch{sin(n+\bruch{1}{2})x}{2sin(\bruch{1}{2}x)} [/mm]

Hallo Felix,

Danke für deine prompte Antwort.
Dein Hinweis hilft mir weiter.

Bei der zweiten Aufgabe stehe ich aber vor einem Rätsel.. :-(

Gruss,
Hienli

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Komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:26 Di 01.12.2009
Autor: felixf

Hallo Hienli!

> Zeige: Für alle [mm]x\in\IR[/mm] mit [mm]sin\bruch{x}{2}\not=0[/mm] und
> [mm]n\in\IN[/mm] mit [mm]n\ge1[/mm] gilt:
>  
> [mm]\bruch{1}{2}+\summe_{i=1}^{n}coskx=\bruch{sin(n+\bruch{1}{2})x}{2sin(\bruch{1}{2}x)}[/mm]

Kann es sein, dass es auf der rechten Seite [mm] $\frac{\sin((n + \frac{1}{2}) x)}{2 \sin(\frac{1}{2} x)}$ [/mm] lauten soll?

>  
> Bei der zweiten Aufgabe stehe ich aber vor einem Rätsel..
> :-(

Hast du es mal mit Induktion probiert und den Additionstheoremen?

LG Felix


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Bezug
Komplexe Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:44 Di 01.12.2009
Autor: hienli

Hallo Felix,

Ja das sollte folgendermassen heissen:
(Ich denke, die Aufgabenstellung ist falsch aufgeschrieben worden)

[mm] \bruch{1}{2}+\summe_{k=1}^{n}coskx=\bruch{sin((n+\bruch{1}{2})x)}{2sin(\bruch{1}{2}x)} [/mm]

Wäre sehr freundlich, könntest du mir eine Starthilfe geben (rein formal), welche ich dann fortsetzen würde.

Gruss,
Hienli

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Bezug
Komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:26 Mi 02.12.2009
Autor: felixf

Hallo Hienli

> Ja das sollte folgendermassen heissen:
>  (Ich denke, die Aufgabenstellung ist falsch aufgeschrieben
> worden)
>  
> [mm]\bruch{1}{2}+\summe_{k=1}^{n}coskx=\bruch{sin((n+\bruch{1}{2})x)}{2sin(\bruch{1}{2}x)}[/mm]
>  
> Wäre sehr freundlich, könntest du mir eine Starthilfe
> geben (rein formal), welche ich dann fortsetzen würde.

Ok, hier der Induktionsanfang. Zu zeigen ist [mm] $\frac{1}{2} [/mm] + [mm] \cos [/mm] x = [mm] \frac{\sin (3/2 x)}{2 \sin(1/2 x)}$, [/mm] oder aequivalent [mm] $\sin(1/2 [/mm] x) + 2 [mm] \cos(x) \sin(1/2 [/mm] x) = [mm] \sin(3/2 [/mm] x)$.

Jetzt ist $3/2 x = 1/2 x + x$, und nach den Additionstheoremen gilt [mm] $\sin(3/2 [/mm] x) = [mm] \sin(x) \cos(1/2 [/mm] x) + [mm] \sin(1/2 [/mm] x) [mm] \cos(x)$. [/mm]

Mit $-1/2 x = 1/2 x - x$ und den Additionstheoremen erhaelt man [mm] $-\sin(1/2 [/mm] x) = [mm] \sin(-1/2 [/mm] x) = [mm] \sin(-x) \cos(1/2 [/mm] x) + [mm] \sin(1/2 [/mm] x) [mm] \cos(-x) [/mm] = [mm] -\sin(x) \cos(1/2 [/mm] x) + [mm] \sin(1/2 [/mm] x) [mm] \cos(x)$. [/mm]

Addiert man beides zusammen, so erhaelt man [mm] $\sin(3/2 [/mm] x) - [mm] \sin(1/2 [/mm] x) = 2 [mm] \sin(1/2 [/mm] x) [mm] \cos(x)$: [/mm] noch einmal umgeformt ergibt dies den Induktionsanfang.

Jetzt bist du dran mit dem Induktionsschritt.

LG Felix


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Komplexe Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:45 Fr 18.12.2009
Autor: hienli

Hallo zusammen,

Wer kann mir bitte zeigen und ausformulieren, wie man hier den Induktionsschritt vollführt!?

Vielen herzlichen Dank,

Gruss,
hienli

Bezug
                                                
Bezug
Komplexe Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:09 Fr 18.12.2009
Autor: Adamantan

Hallo,

> Hallo zusammen,
>  
> Wer kann mir bitte zeigen und ausformulieren, wie man hier
> den Induktionsschritt vollführt!?

prima, und die Klausur schreibt sie/er dann auch für dich!?

Viel Erfolg
Adamantan

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Bezug
Komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:40 Fr 18.12.2009
Autor: leduart

Hallo
Es geht hier im forum andersrum: Du zeigst uns, was du mit den Tips angefangen hast, Dass du sie umgesetzt hast, und an welcher Stelle du scheiterst. Was Induktion ist und wie man sie angeht müsstest du doch wissen? Natürlich braucht so ne Aufgabe was Zeit und auch rumprobieren, aber das Ziel ist ja, dass du was lernst. Fertige Beispiele , aus denen man anscheinend nicht mehr lernt gibts ja viele.
Gruss leduart

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