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Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen" - Komplexe Zahlen
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Komplexe Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:29 Mo 08.02.2010
Autor: jan_333

Aufgabe
Zeigen Sie, dass die Gleichung [mm] (z-a)^{n}=b [/mm] mit [mm] z,a,b\in\IC, n\in\IN [/mm] für komplexe Zahlen a,b mit [mm] b=r*e^{i\varphi} [/mm] von den Zahlen

[mm] z_{0}=a+\wurzel[n]{r}*e^{i\bruch{\varphi}{n}} [/mm]

[mm] z_{1}=a+\wurzel[n]{r}*e^{i(\bruch{\varphi}{n}+1*\bruch{2\pi}{n})} [/mm]

[mm] z_{2}=a+\wurzel[n]{r}*e^{i(\bruch{\varphi}{n}+2*\bruch{2\pi}{n})} [/mm]

      [mm] \vdots [/mm]

[mm] z_{n-2}=a+\wurzel[n]{r}*e^{i(\bruch{\varphi}{n}+(n-2)*\bruch{2\pi}{n})} [/mm]

[mm] z_{n-1}=a+\wurzel[n]{r}*e^{i(\bruch{\varphi}{n}+(n-1)*\bruch{2\pi}{n})} [/mm]

gelöst wird.
Begründen Sie, dass diese n Zahlen alle Lösungen der Gleichung sind.

Hallo,

ich muss diese Aufgabe hier machen, weiß aber nicht wie ich vorgehen soll oder was überhaupt gefordert ist. Ich konnte bisher bei komplexen Zahlen nur Sachen wie Real- und Imaginärteil, Polarkoordinaten und Exponentialform bestimmen. Aber mit dieser Aufgabe kann ich nix anfangen.

Bitte um Hilfe.

        
Bezug
Komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:04 Mo 08.02.2010
Autor: pelzig

Du musst zeigen, dass die [mm] $z_i$ [/mm] für alle [mm] $0\le [/mm] i<n$ die Gleichung [mm] $(z_i-a)^n=b$ [/mm] erfüllen. Desweiteren sollst du zeigen, dass es keine weiteren Lösungen geben kann.

Gruß, Robert

Bezug
                
Bezug
Komplexe Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:11 Mo 08.02.2010
Autor: jan_333

Danke für die Antwort!

Ich weiß aber nicht, wie ich da vorgehen muss.

Bezug
                        
Bezug
Komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:38 Mo 08.02.2010
Autor: felixf

Hallo!

> Danke für die Antwort!
>  
> Ich weiß aber nicht, wie ich da vorgehen muss.

Um zu zeigen, dass die [mm] $z_i$ [/mm] die Gleichung erfuellen? Einsetzen und ausrechnen! Du brauchst Rechenregeln fuer Wurzeln und die $e$-Funktion.

Leg doch mal los und schau wie weit du kommst. Wenn du nicht weiterkommst schreib hierher was du gemacht hast und wo genau du festhaengst.

LG Felix


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