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| Aufgabe | | Bestimmen sie alle Lösungen von [mm] e^{2jz}=\bruch{2+j}{2-j} [/mm] |
Hallöchen :)
Ich habe ja also Formel:
[mm] ln(\left|w\right|)+j [/mm] Arg w+ [mm] jk2\pi
[/mm]
Wie genau müssen dann die Werte in die formel eingesetzt werden?
Muss ich [mm] \bruch{2+j}{2-j} [/mm] erst in polarform umrechnen um den betrag und das Arg zu bekommen? Wenn ja wie?
Wie wird das Beisüpiel oben in [mm] e^z=w [/mm] umgewandelt damit ich die form benutzen kann?
Und wie wird das k eingesetz?
Danke für die Antworten
mfg mathfreak
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Hallo mathefreak89,
> Bestimmen sie alle Lösungen von [mm]e^{2jz}=\bruch{2+j}{2-j}[/mm]
>
> Hallöchen :)
>
> Ich habe ja also Formel:
>
> [mm]ln(\left|w\right|)+j[/mm] Arg w+ [mm]jk2\pi[/mm]
>
> Wie genau müssen dann die Werte in die formel eingesetzt
> werden?
> Muss ich [mm]\bruch{2+j}{2-j}[/mm] erst in polarform umrechnen um
> den betrag und das Arg zu bekommen? Wenn ja wie?
Schreibe zunächst Zähler und Nenner der rechten Seite in Polarform:
[mm]2+j=r_{1}*e^{j*\phi_{1}}[/mm]
[mm]2-j=r_{2}*e^{j*\phi_{2}}[/mm]
Setze dies in die Gliechung ein, und Du erhältst:
[mm]e^{2jz}=\bruch{r_{1}*e^{j*\phi_{1}}}{r_{2}*e^{j*\phi_{2}}}=\bruch{r_{1}}{r_{2}}*e^{j*\left(\phi_{1}-\phi_{2}\right)}[/mm]
> Wie wird das Beisüpiel oben in [mm]e^z=w[/mm] umgewandelt damit
> ich die form benutzen kann?
> Und wie wird das k eingesetz?
Das k kommt von der Periodizität.
>
> Danke für die Antworten
>
> mfg mathfreak
Gruss
MathePower
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Erstmal danke für die Antwort.
Mich iritiert jetz noch ein bisschen die 2 in [mm] e^{2jz}
[/mm]
und ist z die Periode? Oder wo bekomm ich die her?
Wieviele lösungen gibts denn da?
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Hallo mathefreak89,
> Erstmal danke für die Antwort.
>
> Mich iritiert jetz noch ein bisschen die 2 in [mm]e^{2jz}[/mm]
> und ist z die Periode? Oder wo bekomm ich die her?
> Wieviele lösungen gibts denn da?
z ist nicht die Periode.
Auf die linke Seite der Gleichung wendest Du den Logarithmus an,
ohne periodische Lösungen.
Gruss
MathePower
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Irgendwie kann ich damit gard nichts anfangen :(
Kanns du das an dem Ausgangsbeispiel vllt einme näher erläutern wie man das genau rechnet?
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Hallo mathefreak89,
> Irgendwie kann ich damit gard nichts anfangen :(
>
> Kanns du das an dem Ausgangsbeispiel vllt einme näher
> erläutern wie man das genau rechnet?
Die Gleichung lautet doch:
[mm]e^{2jz}=\bruch{r_{1}}{r_{2}}\cdot{}e^{j\cdot{}\left(\phi_{1}-\phi_{2}\right)}[/mm]
Wendet man auf die Gleichung den natürlichen Logarithmus an,
so steht da:
[mm]\ln\left( \ e^{2jz} \ \right)=\ln\left( \ \bruch{r_{1}}{r_{2}}\cdot{}e^{j\cdot{}\left(\phi_{1}-\phi_{2}\right)} \ \right)[/mm]
[mm]\Rightarrow jz=\ln\left( \ \bruch{r_{1}}{r_{2}}\cdot{}e^{j\cdot{}\left(\phi_{1}-\phi_{2}\right)} \ \right) [/mm]
Nun wende auf die rechte Seite der letzten Gleichung
Deine im allerersten Post genannte Formel an.
Gruss
MathePower
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Achso also müsste ich für die Lösung z noch j rüberbringen und im Falle des Beispiels wäre das 2jz also einfach vorher noch durch 2 teilen?
und wie genau läuft das dann mit k?
Das is doch der Wert der mir gegebenenfalls mehrere Lösungen liefert oder nich?
Kanns du mal ein Beipsiel sagen wo das k ausschlaggebend ist?
DAnke dir :)
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Hallo mathefreak89,
> Achso also müsste ich für die Lösung z noch j
> rüberbringen und im Falle des Beispiels wäre das 2jz also
> einfach vorher noch durch 2 teilen?
>
> und wie genau läuft das dann mit k?
Zu dem auf der rechten Seite erhaltenen Hauptwert
addierst Du [mm]2*k*\pi[/mm] hinzu.
>
> Das is doch der Wert der mir gegebenenfalls mehrere
> Lösungen liefert oder nich?
Ja.
>
> Kanns du mal ein Beipsiel sagen wo das k ausschlaggebend
> ist?
Siehe hier: Moivre-Formel
>
> DAnke dir :)
Gruss
MathePower
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Also wenn ich [mm] z^3=w [/mm] habe dann kann ich nachvollziehen ,dass das k von 0-2 eingesetzt wird und ich 3 lösungen erhalte.
Aber woran erkenne ich bei [mm] e^{2jz} [/mm] welche werte ich für k einsetzten muss das erschließt mir noch nich so ganz.
Und danke dir für die ganzen Antworten die du mir schon auf [mm] 10^{100} [/mm] fragen gegeben hast^^
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Hallo mathefreak89,
> Also wenn ich [mm]z^3=w[/mm] habe dann kann ich nachvollziehen ,dass
> das k von 0-2 eingesetzt wird und ich 3 lösungen erhalte.
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> Aber woran erkenne ich bei [mm]e^{2jz}[/mm] welche werte ich für k
> einsetzten muss das erschließt mir noch nich so ganz.
Nun, der Logarithmus einer komplexen Zahl hat unendlich viele Werte.
Für k=0 erhältst Du den Hauptwert.
>
> Und danke dir für die ganzen Antworten die du mir schon
> auf [mm]10^{100}[/mm] fragen gegeben hast^^
>
Gruss
MathePower
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Achso und wenn da jetz steht bestimmen sie alle Lösungen dann lass ich einfach das [mm] 2k\pi [/mm] in der Lösung?
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Hallo mathefreak89,
> Achso und wenn da jetz steht bestimmen sie alle Lösungen
> dann lass ich einfach das [mm]2k\pi[/mm] in der Lösung?
Ja.
Dazu musst Du allerdings noch schreiben, daß [mm]k \in \IZ[/mm].
Gruss
MathePower
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