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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:58 Sa 25.02.2012 | | Autor: | mbau16 |
| Aufgabe | Gegeben seien folgende Definitionen:
Angaben in Grad in [mm] z_{1} [/mm] und [mm] z_{2}!
[/mm]
[mm] z_{1}=4(cos(210)+i*sin(210))
[/mm]
[mm] z_{2}=2*e^{i*150}
[/mm]
[mm] z_{3}=4*z_{2}+z_{1} [/mm] |
Guten Abend,
könnt Ihr mal bitte schauen ob ich richtig gerechnet habe?
[mm] z_{1}=4(cos(210)+i*sin(210))
[/mm]
[mm] z_{1}=4\left(-\bruch{\wurzel{3}}{2}+i*\left(-\bruch{1}{2}\right)\right)
[/mm]
[mm] z_{1}=-2\wurzel{3}-2i
[/mm]
[mm] z_{2}=2*e^{i*150}
[/mm]
[mm] z_{2}=2(cos(150)+i*sin(150))
[/mm]
[mm] z_{2}=2\left(\bruch{1}{2}+i\left(-\bruch{\wurzel{3}}{2}\right)\right)
[/mm]
[mm] z_{2}=1-\bruch{\wurzel{3}}{2}i
[/mm]
[mm] z_{3}=4*z_{2}+z_{1}
[/mm]
[mm] z_{3}=4*\left(1-\bruch{\wurzel{3}}{2}i\right)-2\wurzel{3}-2i
[/mm]
[mm] z_{3}=4-2\wurzel{3}i-2\wurzel{3}-2i
[/mm]
[mm] z_{3}=4-2\wurzel{3}-i*2(\wurzel{3}-1)
[/mm]
Somit müsste [mm] z_{3} [/mm] in der gaußschen Zahlenebene im 4.Quadranten liegen!
Stimmt alles?
Vielen Dank!
Gruß
mbau16
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Hallo mbau16,
> Gegeben seien folgende Definitionen:
>
> Angaben in Grad in [mm]z_{1}[/mm] und [mm]z_{2}![/mm]
>
> [mm]z_{1}=4(cos(210)+i*sin(210))[/mm]
>
> [mm]z_{2}=2*e^{i*150}[/mm]
>
> [mm]z_{3}=4*z_{2}+z_{1}[/mm]
> Guten Abend,
>
> könnt Ihr mal bitte schauen ob ich richtig gerechnet
> habe?
>
> [mm]z_{1}=4(cos(210)+i*sin(210))[/mm]
>
> [mm]z_{1}=4\left(-\bruch{\wurzel{3}}{2}+i*\left(-\bruch{1}{2}\right)\right)[/mm]
>
> [mm]z_{1}=-2\wurzel{3}-2i[/mm]
>
> [mm]z_{2}=2*e^{i*150}[/mm]
>
> [mm]z_{2}=2(cos(150)+i*sin(150))[/mm]
>
> [mm]z_{2}=2\left(\bruch{1}{2}+i\left(-\bruch{\wurzel{3}}{2}\right)\right)[/mm]
>
Hier muss es doch so lauten:
[mm]z_{2}=2\left(\blue{i}*\bruch{1}{2}+\left(-\bruch{\wurzel{3}}{2}\right)\right)[/mm]
> [mm]z_{2}=1-\bruch{\wurzel{3}}{2}i[/mm]
>
> [mm]z_{3}=4*z_{2}+z_{1}[/mm]
>
> [mm]z_{3}=4*\left(1-\bruch{\wurzel{3}}{2}i\right)-2\wurzel{3}-2i[/mm]
>
> [mm]z_{3}=4-2\wurzel{3}i-2\wurzel{3}-2i[/mm]
>
> [mm]z_{3}=4-2\wurzel{3}-i*2(\wurzel{3}-1)[/mm]
>
> Somit müsste [mm]z_{3}[/mm] in der gaußschen Zahlenebene im
> 4.Quadranten liegen!
>
> Stimmt alles?
>
> Vielen Dank!
>
> Gruß
>
> mbau16
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:26 Sa 25.02.2012 | | Autor: | mbau16 |
Hallo zusammen,
danke für die erste Korrektur MathePower. Wie sieht es jetzt aus?
>
> > Gegeben seien folgende Definitionen:
> >
> > Angaben in Grad in [mm]z_{1}[/mm] und [mm]z_{2}![/mm]
> >
> > [mm]z_{1}=4(cos(210)+i*sin(210))[/mm]
> >
> > [mm]z_{2}=2*e^{i*150}[/mm]
> >
> > [mm]z_{3}=4*z_{2}+z_{1}[/mm]
> > [mm]z_{1}=4(cos(210)+i*sin(210))[/mm]
> >
> [mm]z_{1}=4\left(-\bruch{\wurzel{3}}{2}+i*\left(-\bruch{1}{2}\right)\right)[/mm]
> >
> > [mm]z_{1}=-2\wurzel{3}-2i[/mm]
> >
> > [mm]z_{2}=2*e^{i*150}[/mm]
> >
> > [mm]z_{2}=2(cos(150)+i*sin(150))[/mm]
> >
> [mm]z_{2}=2\left(-\bruch{\wurzel{3}}{2}+i*\bruch{1}{2}\right)[/mm]
[mm] z_{2}=-\wurzel{3}+i
[/mm]
[mm]z_{3}=4*z_{2}+z_{1}[/mm]
[mm] z_{3}=4(-\wurzel{3}+i)-2\wurzel{3}-2i
[/mm]
[mm] z_{3}=-4\wurzel{3}+4i-2\wurzel{3}-2i
[/mm]
[mm] z_{3}=-6\wurzel{3}+2i
[/mm]
Somit müsste [mm] z_{3} [/mm] im zweiten Quadranten liegen! Was sagt Ihr, stimmt jetzt alles?
> >
> > Vielen Dank!
> >
> > Gruß
> >
> > mbau16
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Hallo mbau16,
> Hallo zusammen,
>
> danke für die erste Korrektur MathePower. Wie sieht es
> jetzt aus?
> >
> > > Gegeben seien folgende Definitionen:
> > >
> > > Angaben in Grad in [mm]z_{1}[/mm] und [mm]z_{2}![/mm]
> > >
> > > [mm]z_{1}=4(cos(210)+i*sin(210))[/mm]
> > >
> > > [mm]z_{2}=2*e^{i*150}[/mm]
> > >
> > > [mm]z_{3}=4*z_{2}+z_{1}[/mm]
>
> > > [mm]z_{1}=4(cos(210)+i*sin(210))[/mm]
> > >
> >
> [mm]z_{1}=4\left(-\bruch{\wurzel{3}}{2}+i*\left(-\bruch{1}{2}\right)\right)[/mm]
> > >
> > > [mm]z_{1}=-2\wurzel{3}-2i[/mm]
> > >
> > > [mm]z_{2}=2*e^{i*150}[/mm]
> > >
> > > [mm]z_{2}=2(cos(150)+i*sin(150))[/mm]
> > >
> > [mm]z_{2}=2\left(-\bruch{\wurzel{3}}{2}+i*\bruch{1}{2}\right)[/mm]
>
> [mm]z_{2}=-\wurzel{3}+i[/mm]
>
> [mm]z_{3}=4*z_{2}+z_{1}[/mm]
>
> [mm]z_{3}=4(-\wurzel{3}+i)-2\wurzel{3}-2i[/mm]
>
> [mm]z_{3}=-4\wurzel{3}+4i-2\wurzel{3}-2i[/mm]
>
> [mm]z_{3}=-6\wurzel{3}+2i[/mm]
>
> Somit müsste [mm]z_{3}[/mm] im zweiten Quadranten liegen! Was sagt
> Ihr, stimmt jetzt alles?
>
Jetzt stimmt alles. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> > >
> > > Vielen Dank!
> > >
> > > Gruß
> > >
> > > mbau16
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:50 Sa 25.02.2012 | | Autor: | mbau16 |
Guten Abend nochmal,
nachdem ich jetzt [mm] z_{1} [/mm] und [mm] z_{2} [/mm] umgeformt habe, möchte ich jetzt gerne [mm] z_{4} [/mm] berechnen. [mm] z_{1} [/mm] und [mm] z_{2} [/mm] enthalten Angaben in Grad.
[mm] z_{1}=4(cos(210)+i*sin(210))
[/mm]
[mm] z_{1}=-2\wurzel{3}-2i
[/mm]
[mm] z_{2}=2*e^{i*150}
[/mm]
[mm] z_{2}=-\wurzel{3}+i
[/mm]
[mm] z_{4}=\wurzel{3}*z_{2}*(z_{1}-2i)
[/mm]
[mm] z_{4}=\wurzel{3}*(-\wurzel{3}+i)*(-2\wurzel{3}-2i)
[/mm]
[mm] z_{4}=-3+\wurzel{3}i*(-2\wurzel{3}-4i)
[/mm]
[mm] z_{4}=-3+\wurzel{3}i*(-2\wurzel{3})+\wurzel{3}i*(-4i)
[/mm]
[mm] z_{4}=-3+i\wurzel{3}(-2\wurzel{3}-4i)
[/mm]
Durch die Klammersetzung bin ich mir nicht sicher, ob es richtig ist. Könnt Ihr nochmal schauen?
[mm] z_{4} [/mm] müsste in der gaußschen Zahlenebene im zweiten Quadranten liegen.
Vielen Dank!
Gruß
mbau16
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Hallo mbau16,
> Guten Abend nochmal,
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> nachdem ich jetzt [mm]z_{1}[/mm] und [mm]z_{2}[/mm] umgeformt habe, möchte
> ich jetzt gerne [mm]z_{4}[/mm] berechnen. [mm]z_{1}[/mm] und [mm]z_{2}[/mm] enthalten
> Angaben in Grad.
>
> [mm]z_{1}=4(cos(210)+i*sin(210))[/mm]
>
> [mm]z_{1}=-2\wurzel{3}-2i[/mm]
>
> [mm]z_{2}=2*e^{i*150}[/mm]
>
> [mm]z_{2}=-\wurzel{3}+i[/mm]
>
> [mm]z_{4}=\wurzel{3}*z_{2}*(z_{1}-2i)[/mm]
>
> [mm]z_{4}=\wurzel{3}*(-\wurzel{3}+i)*(-2\wurzel{3}-2i)[/mm]
>
> [mm]z_{4}=-3+\wurzel{3}i*(-2\wurzel{3}-4i)[/mm]
>
Hier Klammern setzen:
[mm]z_{4}=\left\blue{(}-3+\wurzel{3}i\right\blue{)}*(-2\wurzel{3}-4i)[/mm]
> [mm]z_{4}=-3+\wurzel{3}i*(-2\wurzel{3})+\wurzel{3}i*(-4i)[/mm]
>
> [mm]z_{4}=-3+i\wurzel{3}(-2\wurzel{3}-4i)[/mm]
>
> Durch die Klammersetzung bin ich mir nicht sicher, ob es
> richtig ist. Könnt Ihr nochmal schauen?
>
> [mm]z_{4}[/mm] müsste in der gaußschen Zahlenebene im zweiten
> Quadranten liegen.
>
> Vielen Dank!
>
> Gruß
>
> mbau16
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 Sa 25.02.2012 | | Autor: | mbau16 |
Guten Abend nochmal,
> >
> > nachdem ich jetzt [mm]z_{1}[/mm] und [mm]z_{2}[/mm] umgeformt habe, möchte
> > ich jetzt gerne [mm]z_{4}[/mm] berechnen. [mm]z_{1}[/mm] und [mm]z_{2}[/mm] enthalten
> > Angaben in Grad.
> >
> > [mm]z_{1}=4(cos(210)+i*sin(210))[/mm]
> >
> > [mm]z_{1}=-2\wurzel{3}-2i[/mm]
> >
> > [mm]z_{2}=2*e^{i*150}[/mm]
> >
> > [mm]z_{2}=-\wurzel{3}+i[/mm]
> >
> > [mm]z_{4}=\wurzel{3}*z_{2}*(z_{1}-2i)[/mm]
> >
> > [mm]z_{4}=\wurzel{3}*(-\wurzel{3}+i)*(-2\wurzel{3}-2i)[/mm]
> >
> > [mm]z_{4}=(-3+\wurzel{3}i)*(-2\wurzel{3}-4i)[/mm]
[mm] z_{4}=6\wurzel{3}+12i+\wurzel{3}i*(-2\wurzel{3})+\wurzel{3}i*(-4i)
[/mm]
[mm] z_{4}=6\wurzel{3}+\wurzel{3}i(-2\wurzel{3}-4i)+12i
[/mm]
Danke für den Hinweis. Aber danach muss ich nochmal einen Fehler gemacht haben. Könnt Ihr nochmal schauen?
Vielen, vielen Dank!
Gruß
mbau16
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Hallo mbau16,
> Guten Abend nochmal,
> > >
> > > nachdem ich jetzt [mm]z_{1}[/mm] und [mm]z_{2}[/mm] umgeformt habe, möchte
> > > ich jetzt gerne [mm]z_{4}[/mm] berechnen. [mm]z_{1}[/mm] und [mm]z_{2}[/mm] enthalten
> > > Angaben in Grad.
> > >
> > > [mm]z_{1}=4(cos(210)+i*sin(210))[/mm]
> > >
> > > [mm]z_{1}=-2\wurzel{3}-2i[/mm]
> > >
> > > [mm]z_{2}=2*e^{i*150}[/mm]
> > >
> > > [mm]z_{2}=-\wurzel{3}+i[/mm]
> > >
> > > [mm]z_{4}=\wurzel{3}*z_{2}*(z_{1}-2i)[/mm]
> > >
> > > [mm]z_{4}=\wurzel{3}*(-\wurzel{3}+i)*(-2\wurzel{3}-2i)[/mm]
> > >
> > > [mm]z_{4}=(-3+\wurzel{3}i)*(-2\wurzel{3}-4i)[/mm]
>
> [mm]z_{4}=6\wurzel{3}+12i+\wurzel{3}i*(-2\wurzel{3})+\wurzel{3}i*(-4i)[/mm]
>
> [mm]z_{4}=6\wurzel{3}+\wurzel{3}i(-2\wurzel{3}-4i)+12i[/mm]
>
> Danke für den Hinweis. Aber danach muss ich nochmal einen
> Fehler gemacht haben. Könnt Ihr nochmal schauen?
>
Fehler hat Du keinen mehr gemacht.
> Vielen, vielen Dank!
>
> Gruß
>
> mbau16
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:19 Mo 27.02.2012 | | Autor: | mbau16 |
Guten Morgen,
nachdem ich nun schon [mm] z_{3} [/mm] und [mm] z_{4} [/mm] berechnet habe, sind nun zum guten Schluß [mm] z_{5} [/mm] und [mm] z_{6} [/mm] dran. Alle Ausdrücke beinhalten u.a. Ausdrücke in Grad.
Zur Erinnerung:
[mm] z_{1}=4(cos(210)+i*sin(210))
[/mm]
[mm] z_{2}=2(cos(150)+i*sin(150))
[/mm]
Los geht es:
[mm] z_{5}=\bruch{z_{2}}{-2*z_{1}} [/mm]
Ich teile auf:
[mm] z_{5.1}=-2*z_{1}
[/mm]
[mm] z_{5.1}=-2(4(cos(210)+i*sin(210)))
[/mm]
[mm] z_{5.1}=-8(cos(210)+i*sin(210))
[/mm]
[mm] z_{5}=-\bruch{2}{8}(cos(150-210)+i*sin(150-210))
[/mm]
[mm] z_{5}=-\bruch{1}{4}(cos(300)+i*sin(300))
[/mm]
[mm] z_{6}=\wurzel{\bruch{z_{2}}{z_{1}}}
[/mm]
[mm] z_{6}=\bruch{1}{2}^{\bruch{1}{2}}\left(cos\left(\bruch{1}{2}(300)\right)+i*sin\left(\bruch{1}{2}(300)\right)\right)
[/mm]
Zum Bonus nochmal [mm] z_{6} [/mm] in die eulersche Form:
[mm] z_{6}=\bruch{1}{2}^{\bruch{1}{2}}*e^{i*\bruch{1}{2}*\bruch{5\pi}{3}}
[/mm]
[mm] z_{6}=\bruch{1}{2}^{\bruch{1}{2}}*e^{i*\bruch{5\pi}{6}}
[/mm]
Könnt Ihr bitte mal schauen, ob es richtig ist?
Vielen, vielen Dank!
Gruß
mbau16
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Hi!
> Guten Morgen,
>
> nachdem ich nun schon [mm]z_{3}[/mm] und [mm]z_{4}[/mm] berechnet habe, sind
> nun zum guten Schluß [mm]z_{5}[/mm] und [mm]z_{6}[/mm] dran. Alle Ausdrücke
> beinhalten u.a. Ausdrücke in Grad.
>
> Zur Erinnerung:
>
> [mm]z_{1}=4(cos(210)+i*sin(210))[/mm]
>
> [mm]z_{2}=2(cos(150)+i*sin(150))[/mm]
>
> Los geht es:
>
> [mm]z_{5}=\bruch{z_{2}}{-2*z_{1}}[/mm]
>
> Ich teile auf:
>
> [mm]z_{5.1}=-2*z_{1}[/mm]
>
> [mm]z_{5.1}=-2(4(cos(210)+i*sin(210)))[/mm]
>
> [mm]z_{5.1}=-8(cos(210)+i*sin(210))[/mm]
>
> [mm]z_{5}=-\bruch{2}{8}(cos(150-210)+i*sin(150-210))[/mm]
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> [mm]z_{5}=-\bruch{1}{4}(cos(300)+i*sin(300))[/mm]
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> [mm]z_{6}=\wurzel{\bruch{z_{2}}{z_{1}}}[/mm]
>
> [mm]z_{6}=\bruch{1}{2}^{\bruch{1}{2}}\left(cos\left(\bruch{1}{2}(300)\right)+i*sin\left(\bruch{1}{2}(300)\right)\right)[/mm]
>
> Zum Bonus nochmal [mm]z_{6}[/mm] in die eulersche Form:
>
> [mm]z_{6}=\bruch{1}{2}^{\bruch{1}{2}}*e^{i*\bruch{1}{2}*\bruch{5\pi}{3}}[/mm]
>
> [mm]z_{6}=\bruch{1}{2}^{\bruch{1}{2}}*e^{i*\bruch{5\pi}{6}}[/mm]
>
> Könnt Ihr bitte mal schauen, ob es richtig ist?
>
> Vielen, vielen Dank!
> Gruß
>
> mbau16
Wenn du die komplexen Zahlen schon so gegeben hast:
[mm]z_{1}=4(cos(210)+i*sin(210))[/mm] und [mm]z_{2}=2(cos(150)+i*sin(150))[/mm]
Dann würde ich diese in jedem Fall zunächst in Exponentialform bringen, da dadurch die Berechnungen wesentlich einfacher sind!
Du kannst aus der gegebenen Darstellung [mm]r[/mm] und [mm]\phi[/mm] ablesen.
Zu [mm]\red{z_1}[/mm]:
[mm]r=4[/mm] [mm]\phi=210[/mm]
[mm]z_1=4 \cdot e^{i 210}[/mm]
Zu [mm]\red{z_2}[/mm]:
[mm]r=2[/mm] [mm]\phi=150[/mm]
[mm]z_2=2 \cdot e^{i 150}[/mm]
Nun kann man mit Hilfe der Exponentialregeln die komplexen Zahlen berechnen:
[mm]z_{5}=\bruch{z_{2}}{-2*z_{1}}[/mm][mm]=\bruch{2 \cdot e^{i 150}}{-2 \cdot 4 \cdot e^{i 210}[/mm]
[mm]z_5=- \bruch{1}{4} \cdot \bruch{e^{i 150}}{e^{i 210}}=- \bruch{1}{4} \cdot e^{i150-i210}=- \bruch{1}{4} \cdot e^{i(150-210)}=- \bruch{1}{4} \cdot e^{i(-60)}=- \bruch{1}{4} \cdot e^{-i60}[/mm]
Deine restlichen Berechnungen habe ich nicht durchgeschaut. Deine erste Exponentialform von [mm] z_5 [/mm] ist aber schonmal falsch (falls ich mich nicht verrechnet habe ;) ).
Rechne nochmal nach.
Valerie
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