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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:18 Do 29.11.2012 | | Autor: | Domi2209 |
| Aufgabe | Fuhren Sie mit quadratischer Ergänzung die Gleichung
z²+ sz + t = 0 (s, t ∈ C) (*)
über in eine quadratische Gleichung der Form
z²= c (c ∈ C)
und bestimmen Sie damit alle Losungen von (*)
b)
Die Gleichung z³+ 5(1 + i − z) = (1 + i)z²
hat die Lösung z1 = i + 1. Bestimmen Sie die übrigen Lösungen. |
Hallo zusammen,
also ich sitze jetzt hier an der Aufgabe und irgendwie kann ich mit komplexen Zahlen nichts anfangen.
Der Begriff Quadratische Ergänzung sagt mir zwar was, aber nicht im Bezug zu komplexen zahlen.
Das Problem ist, dass ich gar nicht weis wo ich ansetzen soll. Über schnelle Hilfe würde ich mich sehr freuen!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:24 Do 29.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Fuhren Sie mit quadratischer Ergänzung die Gleichung
>
> z²+ sz + t = 0 (s, t ∈ C) (*)
>
> über in eine quadratische Gleichung der Form
>
> z²= c (c ∈ C)
>
> und bestimmen Sie damit alle Losungen von (*)
>
> b)
>
> Die Gleichung z³+ 5(1 + i − z) = (1 + i)z²
>
> hat die Lösung z1 = i + 1. Bestimmen Sie die übrigen
> Lösungen.
> Hallo zusammen,
>
> also ich sitze jetzt hier an der Aufgabe und irgendwie kann
> ich mit komplexen Zahlen nichts anfangen.
>
> Der Begriff Quadratische Ergänzung sagt mir zwar was, aber
> nicht im Bezug zu komplexen zahlen.
Das geht wie in [mm] \IR.
[/mm]
[mm] z^2+sz+t=z^2+sz+\bruch{s^2}{4}-\bruch{s^2}{4}+t=(z+\bruch{s}{2})^2-\bruch{s^2}{4}+t
[/mm]
FRED
>
> Das Problem ist, dass ich gar nicht weis wo ich ansetzen
> soll. Über schnelle Hilfe würde ich mich sehr freuen!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 Do 29.11.2012 | | Autor: | Domi2209 |
Okay, das kann ich auch alles nachvollziehen.
Aber ich glaub ich wäre da irgendwie nie drauf gekommen und vor allem weis ich gar nicht wie ich jetzt von der "neuen" Form auf die " z² = c " form komm... muss ich dann alles wieder nach z² auflösen oder wie?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:41 Do 29.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Okay, das kann ich auch alles nachvollziehen.
>
> Aber ich glaub ich wäre da irgendwie nie drauf gekommen
.... ich dachte "quadratische Ergänzung" sagt Dir was.....
Oder doch nicht ... ?
> und vor allem weis ich gar nicht wie ich jetzt von der
> "neuen" Form auf die " z² = c " form komm... muss ich dann
> alles wieder nach z² auflösen oder wie?
Wir haben nun:
[mm] (z+\bruch{s}{2})^2-\bruch{s^2}{4}+t=0
[/mm]
Setzt man [mm] $w:=z+\bruch{s}{2}$, [/mm] so bekommt man
[mm] w^2=\bruch{s^2}{4}-t
[/mm]
(das ist mit " [mm] z^2 [/mm] = c Form " gemeint)
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:50 Do 29.11.2012 | | Autor: | Domi2209 |
Doch ich hab das jetzt auch selbst rausbekommen :)
Man kann ja einfach ne allgemeine Formel anwenden. Ich hab glaub ich beim ersten mal draufgucken das wesentliche übersehen.
und wie man auf w² kommt ist mir dann nun auch klar, ist ja einfach durch umformen :)
Hab ich auch nochmal schrittweise aufgeschrieben, damit ich nicht nochmal die einfachen Dinge übersehe :)
So aber bei Komplexen Zahlen finde ich das ganz merkwürdig mit den Lösungen.
Da ist das ja auch kein Problem wenn unter der Wurzel was negatives steht und so, deswegen weis ich gar nicht wie ich jetzt überhaupt nur auf eine einzige Lösung komm.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:13 Do 29.11.2012 | | Autor: | Domi2209 |
Also konkret ist eigentlich meine Frage ob ich einfach Wurzel s²/2 -t hab und dann da eigentlich irgendwelche ergebnisse draus schließen muss oder ob ich da irgendwo ne pq Formel herzaubern muss und somit aufs ergebnis komm?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:47 Do 29.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
pq formel ist das ergebnis der quadratischen Ergänzung! also musst du keine herzaubern.
du sollst nur jetz einfach [mm] z_1 [/mm] und [mm] z_2 [/mm] angeben , damit ist die "pq" Formel begründet.
bei b) Polynomdivision und dann wieder qu. Ergänzung
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:48 Do 29.11.2012 | | Autor: | Domi2209 |
ist das dann richtig wenn ich als
z1 + Wurzel aus s²/4 - t
und für
z2 - Wurzel s²/4 -t
raus hab?
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Hallo Domi2209,
> ist das dann richtig wenn ich als
> z1 + Wurzel aus s²/4 - t
> und für
> z2 - Wurzel s²/4 -t
>
> raus hab?
>
Das stimmt nicht ganz,
denn das sind die Lösungen der Gleichung [mm]z^{2}= \bruch{s^{2}}{4}-t[/mm]
Gesucht sind aber die Lösungen der Gleichung
[mm]\left(z+\blue{\bruch{s}{2}}\right)^{2}= \bruch{s^{2}}{4}-t[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:26 Do 29.11.2012 | | Autor: | Domi2209 |
Ah okay, also ist das dann
z1 = + Wurzel aus s²/4 -t -s/2
z2 = - Wurzel aus s²/4 -t -s/2
ist das dann so richtig?
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Hallo Domi2209,
> Ah okay, also ist das dann
>
> z1 = + Wurzel aus s²/4 -t -s/2
> z2 = - Wurzel aus s²/4 -t -s/2
>
> ist das dann so richtig?
Ja.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:34 Do 29.11.2012 | | Autor: | Domi2209 |
Okay danke, das hab ich jetzt schonmal verstanden :)
Nun hab ich halt nur noch zum Aufgabenteil b) ne Frage...
Ich hab ja den Tipp bekommen, dass ich zuerst einmal eine Polinomdivision anwenden muss... aber was muss ich denn durch was dividieren?
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Hallo Domi2209,
> Okay danke, das hab ich jetzt schonmal verstanden :)
>
> Nun hab ich halt nur noch zum Aufgabenteil b) ne Frage...
>
> Ich hab ja den Tipp bekommen, dass ich zuerst einmal eine
> Polinomdivision anwenden muss... aber was muss ich denn
> durch was dividieren?
Die Gleichung
[mm]z^{3}+ 5(1 + i - z) = (1 + i)z^{2}[/mm]
ist auf die Form
[mm]z^{3}+a*z^{2}+b*z+c=0[/mm]
zu bringen.
Dann kannst Du die linke Seite Gleichung durch [mm]z-\left(i+1\right)[/mm] dividieren.
Demnach:
[mm]\left(z^{3}+a*z^{2}+b*z+c\right):\left(z-\left(i+1\right)\right)[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:54 Do 29.11.2012 | | Autor: | Domi2209 |
also
z³ + 5z² + (i+1)) : (z-(i+1))
?
aber was mich dabei stört ist das (z-(i+1))
wenn ich da einfach nur eine Variable hätte, meinetwegen z, dann wäre das alles kein problem, aber das i verwirrt mich total..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:00 Do 29.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
1+i ist doch einfach eine Zahl, du musst doch sowieso ünem mit lompöexen Zahlen zu rechnen. Also stürz dich mutig rein. statt nachfragen, ob dein Ergebnis richtig ist: Probe, indem du wieder multiplizierst.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:07 Do 29.11.2012 | | Autor: | Domi2209 |
Ja ich weis, ich will das ja wirklich schaffen, aber ich verunsicher mich glaub ich selbst
wenn ich jetzt anfang, dann betrachte ich ja zuerst z³
also z³ : (z-(i+1))
wäre das dann z² -(i+1) oder wie?
aber das kann doch gar nicht richtig sein...
Ich hab einfach keine ahnung... :/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:14 Do 29.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
genau wie mit [mm] x^3+.....'(x+7.1234)=x^2...
[/mm]
auch hier 1, Ergebnis [mm] Z^2
[/mm]
dann ausmult. und subtrahieren. Erinner dich einfach was du im reellen gemacht hast und geh genauso vor, behandle 1+i etwa wie wen du im reellen [mm] 1+\pi [/mm] hättest und dann mal wirklich losrechnen. Es gibt nichts gutes außer man tut es!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:20 Do 29.11.2012 | | Autor: | Domi2209 |
Ja das hab ich jetzt versucht...
hab das einfach so behandelt als würde da ne 5 oder so stehen
also steht da
z³ + 5z² +(i+1) : (z- (i+1)) = z²
z³ -(i+1)z²
aber jetzt weis ich wieder nicht, was 5z² - (i+1)z² ist...
aber was
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Hallo Domi,
> Ja das hab ich jetzt versucht...
>
> hab das einfach so behandelt als würde da ne 5 oder so
> stehen
>
> also steht da
>
> z³ + 5z² +(i+1) : (z- (i+1)) = z²
> z³ -(i+1)z²
>
> aber jetzt weis ich wieder nicht, was 5z² - (i+1)z²
> ist...
Das interessiert ja auch nicht.
Hier brauchst Du [mm] 5z^2-(-(i+1)z^2)=5z^2+(i+1)z^2=(i+6)z^2
[/mm]
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:42 Do 29.11.2012 | | Autor: | Domi2209 |
Hm ich bekomm das nicht hin...
Die antworten waren super, aber ich komm irgendwie mit der Aufgabe nicht klar.
Ich glaub das ist gerade zu hoch für mich.
Danke an alle die mir geholfen haben.
Gruß Domi :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:53 Do 29.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
so schnell sollte man nicht aufgeben!
wenn du von [mm] 5x^2 -(1+e)*x^2 [/mm] abziehen musst und e nicht durch eine angenäherte Dezimalzahl ersetzen darfst kannst du das sicher auch. Und nur mit Üben kommst du nach kurzer Zeit mit den komplexen Zahlen auf du und du! Am Anfang - s0 m0t 5 bis 6 Jahren war auch 7+5 noch schwer!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:15 Do 29.11.2012 | | Autor: | Domi2209 |
Polynomdivision hab ich verstanden und ich weis auch an sich wie die geht, aber ich seh in dem wirrwar irgendwie gar nicht die "startformel".. also ich weis gar nicht durch was ich teilen soll... mir fehlt so ein ansatz wie x³ +6x²+ 3x - 10 : (x+5) = x² oder so etwas ähnliches...
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