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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:49 Mi 03.07.2013 | | Autor: | Marcel88 |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung [mm] x^2 [/mm] -i = 0 |
hey,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
ich wollte die komplexe Zahl erstmal in eine Exponentialform überführen. Leider komme ich da nicht so recht weiter, da ich kein Argument erhalte.
Leider habe ich keine Idee wie ich an dieser Stelle weitermache vllt eine quadratische Ergänzung aber die sehe ich hier einfach nicht, falls es überhaupt eine gibt an der Stelle.
Viele Grüße
Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:59 Mi 03.07.2013 | | Autor: | DrRiese |
Hi,
könnte man das nicht einfach in die folgende Form überführen?
[mm] (x-\wurzel{i})(x+\wurzel{i})=0 \gdw x=\pm \wurzel{i}
[/mm]
Gruß,
DrRiese
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:09 Mi 03.07.2013 | | Autor: | Marcel88 |
ich soll es danach in die Gaußsche Zahlenebene zeichnen, aber x = [mm] \pm\wurzel{i} [/mm] kann ich ja nicht einzeichnen oder?
Viele Grüße
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:13 Mi 03.07.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Marcel!
Es gilt: $i \ = \ 0+1*i$ .
Kannst Du diese komplexe Zahl nun in die Exponentialform umstellen?
Denn da hast Du Recht: [mm] $\pm\wurzel{i}$ [/mm] in die Gauß'sche Zahlenebene zu zeichnen, ist so nicht ganz möglich.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:25 Mi 03.07.2013 | | Autor: | Marcel88 |
ich würde dann auf die folgende Form kommen:
x = 1 * [mm] e^{ i \* 0} [/mm] was dann x = 1 * 1 bzw. x = 1 bedeuten würde oder?
Viele Grüße
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:27 Mi 03.07.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
Daraus würde unmittelbar folgen, dass gilt: $i \ = \ 1$ .
Damit ist es doch offensichtlich, dass Deine Umrechnung nicht stimmen kann.
Denke nochmals über den Winkel nach!
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:47 Mi 03.07.2013 | | Autor: | Marcel88 |
ups da war was, ich hoffe ich habs jetzt richtig
x = 1* [mm] e^{i * \bruch{\pi}{2} }
[/mm]
bzw. müsste es nicht [mm] x^2 [/mm] = [mm] e^{i \* \bruch{\pi}{2} } [/mm] heißen?
Viele Grüße
Marcel
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Hallo Marcel88,
> ups da war was, ich hoffe ich habs jetzt richtig
>
> x = 1* [mm]e^{i * \bruch{\pi}{2} }[/mm]
>
> bzw. müsste es nicht [mm]x^2[/mm] = [mm]e^{i \* \bruch{\pi}{2} }[/mm]
> heißen?
>
Ja, da hast Du recht.
> Viele Grüße
>
> Marcel
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:52 Mi 03.07.2013 | | Autor: | Marcel88 |
ich komme auf folgende Lösungen für die ursprüngliche Aufgabe:
[mm] z_{0}= \bruch{\wurzel{2}}{2} [/mm] + [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2} \* [/mm] i
[mm] z_{1}= [/mm] - [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2} [/mm] - [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2} \* [/mm] i
ist das so richtig?
Viele Grüße
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:07 Mi 03.07.2013 | | Autor: | Marcel |
N'Abend Marcel!
> ich komme auf folgende Lösungen für die ursprüngliche
> Aufgabe:
>
> [mm]z_{0}= \bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm] + [mm]\bruch{\wurzel{2}}{2} \*[/mm] i
>
> [mm]z_{1}=[/mm] - [mm]\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm] - [mm]\bruch{\wurzel{2}}{2} \*[/mm]
> i
>
>
> ist das so richtig?
Testen wir es doch einfach: Die ursprüngliche Aufgabe lautete, alle Lösungen
von [mm] $x^2-i=0$ [/mm] bzw. [mm] $x^2=i\,$ [/mm] für $x [mm] \in \IC$ [/mm] zu finden. Weil [mm] $x^2-i$ [/mm] Grad 2 hat, wird die Gleichung
[mm] $x^2-i=0$ [/mm] (und damit auch die gleichwertige Gleichung [mm] $x^2=i$) [/mm] genau zwei komplexe
Lösungen [mm] $z_0 \not=z_1$ [/mm] haben.
Deine erste Lösung [mm] $z_0=\frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)$ [/mm] (ich habe sie nur umgeschrieben, weil man
so "übersichtlicher" damit rechnen kann [mm] $\to$ [/mm] Rechenregeln für komplexe Zahlen!) erfüllt
[mm] ${z_0}^2=\frac{1}{2}(1^2+2i-i^2)=\frac{1}{2}(2i)=i\,.$
[/mm]
Damit erfüllt auch
[mm] $z_1=-z_0\not=z_0$ [/mm]
die Gleichung [mm] $x^2=i$ [/mm] wegen
[mm] ${z_1}^2=(-1)^2*{z_0}^2=1*i=i,$
[/mm]
und Du bist fertig.
Also: Deine Lösungen sind richtig! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß,
Marcel
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