Komplexe Zahlen + Ableitung ! < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:14 Fr 06.05.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi !
Ich komme net weiter, Blätter sind überhauf vollgeschrieben, und ich verzweifele:
c, a sind komplexe Zahlen und a nicht reell (hat also nicht den Im(a)=0)
Nun soll ich zeigen:
Re(c)+log|x-a|-Im(c)*acot( [mm] \bruch{x-Re(a)}{Im(a)}) [/mm] ist eine Stammfunktion von Re( [mm] \bruch{c}{(x-a)})
[/mm]
O.K, dachte ich leiten wir einfach mal mutig ab:
g(x)=Re(c)*log|x-a|=Re(c)*log|x-Re(a)-Im(a)|
g'(x)= [mm] \bruch{Re(c)}{x-Re(a)-Im(a)}
[/mm]
f(x)=Im(c)*acot( [mm] \bruch{x-Re(a)}{Im(a)})
[/mm]
Es gilt ja [mm] acot'(x)=-\bruch{1}{1+x^{2}}
[/mm]
Also: [mm] f'(x)=Im(c)*\bruch{-1}{1+(\bruch{x-Re(a)}{Im(a)})^{2}}* \bruch{1}{Im(a)}
[/mm]
So, nu müsste irgendwie g'(x)+f'(x)=Re( [mm] \bruch{c}{(x-a)}) [/mm] gelten.
[mm] \bruch{Re(c)}{x-Re(a)-Im(a)} +\bruch{-Im(c)}{1+(\bruch{x-Re(a)}{Im(a)})^{2}}* \bruch{1}{Im(a)}
[/mm]
Ich rechne rum, gleichnamig gemacht, aber komm net weiter !
Jemand da, der 'ne Ahnung hat ?
Danke
Faenôl
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Hallo Faenol,
> Re(c)+log|x-a|-Im(c)*acot( [mm]\bruch{x-Re(a)}{Im(a)})[/mm] ist eine
> Stammfunktion von Re( [mm]\bruch{c}{(x-a)})[/mm]
Das muss doch etwa so heißen:
[mm]
\begin{array}{l}
\frac{{c_{1} }}{2}\;\ln \;\left( {\left( {x\; - \;a_1 } \right)^2 \; + \;a_{_2 }^{2} } \right)\; - \;a_{2} \;c_{2} \;\frac{1}{{a_{2} }}\;\arctan \;\frac{{x\; - \;a_{1} }}{{a_{2} }} \\
+ \;i\;\left( {\frac{{c_{2} }}{2}\;\ln \;\left( {\left( {x\; - \;a_1 } \right)^{2} \; + \;a_{_2 }^{2} } \right)\; + \;c_1 \;a_2 \;\frac{1}{{a_{2} }}\;\arctan \;\frac{{x\; - \;a_{1} }}{{a_{2} }}} \right) \\
\end{array}[/mm]
Natürlich kannst Du das noch anders schreiben.
Hier habe ich folgendes gerechnet:
[mm]
\begin{array}{l}
\frac{c}{{x\; - \;a}}\; = \;\frac{{c_{1} \; + \;i\;c_{2} }}{{x\; - \;a_{1} \; - \;i\;a_{2} }}\; = \;\frac{{\left( {c_{1} \; + \;i\;c_{2} } \right)\;\left( {\left( {x\; - \;a_{1} } \right)\; + \;i\;a_{2} } \right)}}{{\left( {x\; - \;a_{1} } \right)^{2} \; + \;a_{_2 }^{2} }} \\
= \;\frac{{c_{1} \;\left( {x\; - \;a_{1} } \right)\; - \;a_{2} \;c_{2} }}{{\left( {x\; - \;a_{1} } \right)^{2} \; + \;a_{_2 }^{2} }}\; + \;i\;\frac{{c_{2} \;\left( {x\; - \;a_{1} } \right)\; + \;c_{1} \;a_{2} }}{{\left( {x\; - \;a_{1} } \right)^{2} \; + \;a_{_2 }^{2} }} \\
\end{array}[/mm]
Und dann jeweils Realteil und Imaginärteil integriert.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:17 Sa 07.05.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi !
Danke für den Hinweis !
Aber ich muss ehrlicherweise sagen, mir sagt dein 1. Ausdruck gar nichts...
Der 2. folgt ja aus der Divison 2. komplexer Zahlen, das ist klar, aber dennoch bringt MIR (*g*) das gar nichts. Diesen Ausdruck soll ich jetzt integrieren ?
*hiiiilfe*, wo soll ich denn da 'ne Stammfkt. herbekommen ?
Ich glaub, die Aufgabe ist zu schwer für mich....
Naja, vielleicht hat ja doch noch jemand Zeit, mir das zu erklären... ?
Faenôl
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Hallo Faenol,
integriere den Ausdruck [mm]\int {\frac{c}{{x\; - \;a}}\;dx} [/mm],
dann erhältst Du:
[mm]\begin{array}{l}
\int {\frac{c}{{x\; - \;a}}\;dx} \; = \\
c\;\ln \;\left( {x - a} \right)\; = \;c\;\ln \left( {r\;e^{i\varphi } } \right)\; = \;c\;\left( {\ln \;r\; + \;i\;\varphi } \right) \\
\end{array}[/mm]
mit
[mm]\varphi \; = \;\arctan \;\frac{{a_2 }}{{x\; - \;a_1 }}\; = \;arc\cot \;\frac{{x\; - \;a_1 }}{{a_2 }}[/mm]
und
[mm]r\; = \;\sqrt {\left( {x\; - \;a_{1} } \right)^{2} \; + \;a_{2}^{2} } [/mm]
sowie
[mm]\begin{array}{l}
c\; = \;c_{1} \; + \;i\;c_{2} \\
a\; = \;a_{1} \; + \;i\;a_{2} \\
\end{array}[/mm]
Aufgespalten in Real- und Imaginärteil ergibt sich die Stammfunktion zu
[mm]\begin{array}{l}
\int {\frac{c}{{x\; - \;a}}\;dx} \; = \;\left( {c_{1} \; + \;i\;c_{2} } \right)\;\left( {\ln \;r\; + \;i\;\varphi } \right) \\
= \;\left( {c_{1} \;\ln \;r\; - \;c_{2} \;\varphi } \right)\; + \;i\;\left( {c_{2} \;\ln \;r\; + \;c_{1} \;\varphi } \right) \\
\end{array}[/mm]
Hoffe es ist nun etwas klarer.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:57 Sa 07.05.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi !
O.K, Update des Verständnisses:
Ich weiß net, wie du auf die obige Formel gekommen bist... (Ich geh jetzt einfach mal vom Matheprog aus)..
Ich versteh nun, dass deine 1. Formel meiner Stammfkt gleicht, da für mich hier nur der Realteil interessant ist !
(Das Logarithmusgesetz hatte mich zuerst verwirrt), aber warum heißt es bei dir arctan und nicht acot ?
Kannst du mir das bitte noch erklären ?
Danke
Faenôl
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Hallo Faenol,
> Ich weiß net, wie du auf die obige Formel gekommen bist...
> (Ich geh jetzt einfach mal vom Matheprog aus)..
das hab ich alles ohne MatheProg gemacht.
> Ich versteh nun, dass deine 1. Formel meiner Stammfkt
> gleicht, da für mich hier nur der Realteil interessant ist
> !
> (Das Logarithmusgesetz hatte mich zuerst verwirrt), aber
> warum heißt es bei dir arctan und nicht acot ?
Bei dem entstehenden Integral [mm]\int {\frac{1}{{\left( {x\; - \;a_1 } \right)^{2} \; + \;a_{2}^{2} }}\;dx} [/mm] habe ich die Substitution
[mm]\begin{array}{l}
x\; - \;a_{1} \; = \;a_{2} \;\tan \;u \\
dx\; = \;a_{2} \left( {1\; + \;\tan ^{2} \;u} \right)\;du \\
\end{array}[/mm]
verwendet.
Natürlich kann man da auch diese Substitution verwenden:
[mm]\begin{array}{l}
x\; - \;a_{1} \; = \;a_{2} \;\cot \;u \\
dx\; = \; - a_{2} \left( {1\; + \;\cot ^{2} \;u} \right)\;du \\
\end{array}[/mm]
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Di 10.05.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi MathePower !
Dein Name macht die Ehre ! *g*
Wollte dir noch danken, habs verstanden, eigentlich ja net soo schwer, wenn man mal dahinter gekommen ist, besondern diese Regel mit dem ln..
[mm] \integral_{a}^{b} [/mm] { [mm] \bruch{f'(x)}{f(x)} [/mm] dx}=ln|f(x)|
Aber habs nun.. und bin froh..
Nochmals danke..
Faenôl
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