Komplexe Zahlen + Integral < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:25 Mo 06.07.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
| Aufgabe | a) Berechne das folgende Integral [mm] \integral_{0}^{\infty}{\frac{x}{1+x^4} dx}
[/mm]
b) Bestimmen Sie die Menge der komplexen Zahlen, deren Abstand von 0 höchstens doppelt so groß ist wie von -i. |
Hallo Zusammen,
a) könnte ihr mir weiterhelfen? Mir fehlt zur Zeit der richtige Gedanke...
Bitte um einen kleinen Tipp bzw. Ansatz
b) es gilt [mm] |z|=\wurzel(x^2+y^2)
[/mm]
2|z|=|z-i|
[mm] \gdw 2\wurzel(x^2+y^2)=\wurzel(x^2+(y-i)^2)
[/mm]
[mm] \gdw 4(x^2+y^2)=x^2+(y-i)^2
[/mm]
[mm] \gdw 4x^2+4y^2=x^2+y^2-2yi+1
[/mm]
[mm] \gdw 3y^2=-3x^2-2yi+1
[/mm]
[mm] \gdw y^2= -x^2 -\frac{2yi}{3} [/mm] + [mm] \frac{1}{3}
[/mm]
jetzt *(-1)
-> [mm] x^2 +\frac{2yi}{3} [/mm] - [mm] \frac{1}{3}
[/mm]
jetzt quadr. Ergänzung
-> [mm] x-\frac{2}{3}+(\frac{1}{3})^2 [/mm] - [mm] (\frac{1}{3})^2 [/mm] - [mm] \frac{1}{3} [/mm] = [mm] (yi+\frac{1}{3})-\frac{4}{9} [/mm] -> [mm] (yi+\frac{1}{3})=\frac{4}{9}
[/mm]
Also ein Kreis mit Mittelpunkt [mm] \frac{1}{3} [/mm] und radius [mm] \frac{4}{9}
[/mm]
Ist dies so richtig?
Bitte um Rückmeldung! Danke und Grüße
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Zur ersten Teilaufgabe substituier mal [mm]z = x^2[/mm] 
Für die zweite:
[mm]2|z| = |z-i|[/mm] ist erstens genau falschrum, denn der Abstand zu Null soll ja DOPPELT so gross sein, wie zu -i, d.h. der Faktor muss [mm] \bruch{1}{2} [/mm] sein und zweitens müsste es |z+i| sein, da der Abstand von z zu [mm] z_0 [/mm] ja [mm] |z-z_0| [/mm] ist.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:17 Mo 06.07.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
Also habe ich,
[mm] y^2 [/mm] = [mm] x^2 [/mm] + [mm] \frac{8}{3} [/mm] + [mm] (\frac{8}{6})^2 [/mm] - [mm] (\frac{8}{6})^2 [/mm] - [mm] \frac{4}{3}
[/mm]
-> Mittelpunkt [mm] \frac{8}{6} [/mm] mit Radius [mm] \frac{16}{36}
[/mm]
Richtig?
Bei a kommt doch [mm] \frac{PI}{4} [/mm] raus...
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:34 Mo 06.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. 8/6 ist keine Angabe fuer den Mittelpunkt , die reine Zahl hat im Betrag was damit zu tun. der Radius ist nicht 4/9 sondern 2/3
zeichne das doch mal, dann siehst du ob es stimmt.
Der Kreis ist die Grenze, was ist jetzt die gesuchte Menge? das aeussere oder das Innere?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:05 Mi 08.07.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
Also ich habs nochmal ordentlich aufgeschrieben.
|z|=2|z+i|
[mm] \gdw \wurzel(x^2+y^2)=2 \wurzel(x^2+(y+i)^2)
[/mm]
[mm] \gdw -y^2=x^2+\frac{2yi}{3} [/mm] - [mm] \frac{1}{3}
[/mm]
quadratische Ergänzung:
[mm] (x+\frac{1}{3}) [/mm] + [mm] \frac{1}{3}^2 [/mm] (- [mm] \frac{1}{3}^2 [/mm] - [mm] \frac{1}{3}) [/mm] = 0
-> [mm] (x+\frac{1}{3}) [/mm] - [mm] \frac{4}{9} [/mm] = 0
-> [mm] (x+\frac{1}{3}) [/mm] = [mm] \frac{2}{3} [/mm]
Mittelpunkt 1/3
Radius 2/3
Die gesuchte Menge wäre das Innere vom Kreis...
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:14 Mi 08.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> Also ich habs nochmal ordentlich aufgeschrieben.
Das hast Du nicht !
>
> |z|=2|z+i|
> [mm]\gdw \wurzel(x^2+y^2)=2 \wurzel(x^2+(y+i)^2)[/mm]
Das ist nicht richtig !
Richtig ist:
[mm] \wurzel(x^2+y^2)=2 \wurzel(x^2+(y+1)^2)[/mm]
FRED
> [mm]\gdw -y^2=x^2+\frac{2yi}{3}[/mm]
> - [mm]\frac{1}{3}[/mm]
>
> quadratische Ergänzung:
>
> [mm](x+\frac{1}{3})[/mm] + [mm]\frac{1}{3}^2[/mm] (- [mm]\frac{1}{3}^2[/mm] -
> [mm]\frac{1}{3})[/mm] = 0
> -> [mm](x+\frac{1}{3})[/mm] - [mm]\frac{4}{9}[/mm] = 0
> -> [mm](x+\frac{1}{3})[/mm] = [mm]\frac{2}{3}[/mm]
>
> Mittelpunkt 1/3
> Radius 2/3
>
> Die gesuchte Menge wäre das Innere vom Kreis...
>
> Grüße
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:40 Mi 08.07.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
warum muss ich denn (y+1) schreiben und nicht (y+i) ...
In der Aufgabe ist doch von i die rede..
Grüße
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> Hallo,
>
> warum muss ich denn (y+1) schreiben und nicht (y+i) ...
> In der Aufgabe ist doch von i die rede..
>
> Grüße
$ z=a+i*b $
[mm] |z|=\sqrt{Re(z)^2+Im(z)^2}=\sqrt{a^2+b^2}
[/mm]
$ w=z+i=a+i*b+i=a+i*(b+1) $
[mm] |w|=\sqrt{Re(w)^2+Im(w)^2}=\sqrt{a^2+(b+1)^2}
[/mm]
hoffe du siehst nun warum das so ist!
grüße 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:12 Sa 11.07.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
Alles klar!
Ich hätte doch auch folgenden Ansatz wählen können, oder?
|z| [mm] \le [/mm] 2 |z+i|
Wie müsste denn nun mein Ansatz aussehen, wenn ich folgende Aufgabenstellung hätte:
Man bestimme den geometrischen Ort aller komplexen Zahlen, die von 1 doppelt so weit entfernt sind wie von 0?
[mm] |z|\le [/mm] 2|z-1|
denn der Abstand |z| soll halb so groß sein so groß sein wie von |z-1|
Bitte um kurze Rückmeldung|
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Hallo Bodo,
> Alles klar!
>
>
> Ich hätte doch auch folgenden Ansatz wählen können,
> oder?
>
> |z| [mm]\le[/mm] 2 |z+i|
Soweit ich sehe, ist das doch der hier im post gewählte Ansatz?!
Wobei hier erstmal der Fall der Gleichheit berechnet worden ist ...
Wie sieht denn nun dein Ergebnis genau aus? Ich kann es hier im thread nicht finden ... ![[lupe]](/images/smileys/lupe.gif "[lupe]")
Vllt. hab ich's aber auch übersehen ...
>
>
> Wie müsste denn nun mein Ansatz aussehen, wenn ich
> folgende Aufgabenstellung hätte:
>
> Man bestimme den geometrischen Ort aller komplexen Zahlen,
> die von 1 doppelt so weit entfernt sind wie von 0?
>
> [mm]|z|\le[/mm] 2|z-1|
Wieder umgekehrt und außerdem kein [mm] $\le$, [/mm] sondern ein "=", also
$2|z|=|z-1|$
Denn für eine Zahl, die von 1 doppelt soweit entfernt ist wie von 0 muss ich den Abstand der Zahl von 0 verdoppeln (also mal 2 nehmen), um denselben Abstand der Zahl zu 1 zu bekommen ...
>
> denn der Abstand |z| soll halb so groß sein so groß sein
> wie von |z-1|
>
> Bitte um kurze Rückmeldung|
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:17 Di 14.07.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
ok,
wenn ich das jetzt richtig verstanden habe,
dann würde bei
Bestimmen Sie die Menge der komplexen Zahlen deren 2-facher Abstand von 1 so groß ist wie von -i.
2|z-1|=|z+1|
ist dies richtig?
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:21 Di 14.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> ok,
>
> wenn ich das jetzt richtig verstanden habe,
>
> dann würde bei
>
> Bestimmen Sie die Menge der komplexen Zahlen deren 2-facher
> Abstand von 1 so groß ist wie von -i.
>
> 2|z-1|=|z+1|
>
> ist dies richtig?
Nein. Richtig ist:
$2|z-1|=|z+i|$
Vielleicht hast Du Dich auch nur verschrieben.
FRED
>
> Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:58 Di 14.07.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
Hi,
also ich habe nun
2|z-1|=|z+i|
[mm] \gdw 2\wurzel((x-1)^2+y^2) [/mm] = [mm] \wurzel(x^2+(y+1^)^2)
[/mm]
[mm] \gdw 2\wurzel((x^2-2x+1+y^2) [/mm] = [mm] \wurzel(x^2+y^2+2y+1)
[/mm]
jetzt quadrieren:
[mm] \gdw 4(x^2-2x+1+y^2)=x^2+y^2+2y+1
[/mm]
[mm] \gdw 4x^2 [/mm] - 8x +4 [mm] +4y^2 [/mm] = [mm] x^2 +y^2+2y [/mm] +1
[mm] \gdw 3x^2-8x+3+3y^2 [/mm] -2y=0
[mm] \gdw x^2-\frac{8x}{3}+1+y^2 [/mm] -2y =0
jetzt quadratische ergänzung
[mm] \gdw y^2 [/mm] -2y + [mm] x^2 -\frac{8}{3} [/mm] + [mm] \frac{16}{9}= [/mm] 1 + [mm] \frac{16}{9}
[/mm]
[mm] \gdw y^2 [/mm] - 2y + [mm] (x-\frac{8}{6})^2 [/mm] = [mm] \frac{5}{3}
[/mm]
Also: Mittelpunkt [mm] \frac{8}{6} [/mm] und Radius [mm] \frac{5}{3}
[/mm]
Ist dies so korrekt?
Grüße
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:39 Di 14.07.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
Hi,
also [mm] x^2-\frac{8x}{3}+1+y^2 -\frac{2y}{3} [/mm] = 0
quadr. erg.
[mm] \gdw [/mm]
[mm] y^2 [/mm] - [mm] \frac{2}{3} [/mm] + [mm] x^2 [/mm] - [mm] \frac{8x}{3}+\frac{4}{3} [/mm] = -1 [mm] +\frac{4}{3}
[/mm]
[mm] \gdw y^2 [/mm] - [mm] \frac{2y}{3} [/mm] + [mm] (x-\frac{4}{3})^2 [/mm] = [mm] \frac{1}{3}
[/mm]
Also x-Koordinate: [mm] \frac{4}{3} [/mm] mit Radius [mm] \frac{1}{3}
[/mm]
bestimmung der y-koord.
muss ich von folgendem ausgehen?
[mm] x^2-\frac{8x}{3}+1+y^2 -\frac{2y}{3}
[/mm]
-> [mm] y^2 -\frac{2y}{3} [/mm] +1
quadr. erg.
[mm] (y-\frac{1}{3})^2 [/mm] = -1 [mm] +\frac{1}{9}
[/mm]
[mm] \gdw (y-\frac{1}{3})^2 [/mm] = [mm] -\frac{8}{9}
[/mm]
y-Koord: [mm] \frac{1}{3} [/mm] mit Radius [mm] -\frac{8}{9}
[/mm]
Grüße
bitte um rückmeldung...danke
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Hallo nochmal,
na, ein Kreis kann doch nicht 2 Radien haben.
Und zudem einen negativen ???
Gehe nochmal zur Gleichung [mm] $x^2-\frac{8}{3}x+1+y^2-\frac{2}{3}y=0$ [/mm] zurück und bringe das durch quadr. Ergänzung in die Form
[mm] $(x-x_m)^2+(y-y_m)^2=r^2$
[/mm]
Schreibe das mal komplett und ordentlich auf, dann kontrolliert es bestimmt nochmal jemand nach, so wie es oben steht, ist das Kuddelmuddel bzw. Unsinn
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:32 Di 14.07.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
Hi,
also
[mm] x^2-\frac{8}{3}x+1+y^2-\frac{2}{3}y=0 [/mm]
hier hatte ich ja bereits die quadratische Ergänzung von "x" durchgeführt
[mm] (x-\frac{1}{2}*\frac{8}{3})^2 [/mm] = -1 + [mm] \frac{4}{3}
[/mm]
[mm] \gdw (x-\frac{1}{2}*\frac{8}{3})^2 [/mm] = [mm] \frac{1}{3}
[/mm]
[mm] \gde (x-\frac{4}{3})^2 [/mm] = [mm] \frac{1}{3}
[/mm]
X-Koord [mm] \frac{4}{3} [/mm] mit Radius [mm] \frac{1}{3}
[/mm]
Also müsste ja eigentlich der selbe Radius bei y auch wieder herauskommen...
also habe ich nun:
[mm] (x-x_m)^2 +(y-y_m)^2 [/mm] = [mm] r^2
[/mm]
[mm] \gdw (x-\frac{4}{3})^2+(y-y_m)^2 [/mm] = [mm] r^2
[/mm]
nun berechnung der y- Koord.
Also löse ich nun
[mm] y^2-\frac{2}{3}y+1
[/mm]
quad. erg.
[mm] (y-\frac{1}{2}*\frac{2}{3})^2 [/mm] = -1 + [mm] \frac{1}{9}
[/mm]
[mm] \gdw (y-\frac{1}{2}*\frac{2}{3})^2 [/mm] = [mm] -\frac{8}{9}
[/mm]
[mm] \gdw (y-\frac{1}{3})^2 [/mm] = [mm] -\frac{8}{9}
[/mm]
aber das passt doch schon wieder nicht. Ich glaube ich löse die falsche gleichung von y...
grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:41 Di 14.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
>
> also
>
> [mm]x^2-\frac{8}{3}x+1+y^2-\frac{2}{3}y=0[/mm]
>
> hier hatte ich ja bereits die quadratische Ergänzung von
> "x" durchgeführt
>
> [mm](x-\frac{1}{2}*\frac{8}{3})^2[/mm] = -1 + [mm]\frac{4}{3}[/mm]
> [mm]\gdw (x-\frac{1}{2}*\frac{8}{3})^2[/mm] = [mm]\frac{1}{3}[/mm]
> [mm]\gde (x-\frac{4}{3})^2[/mm] = [mm]\frac{1}{3}[/mm]
Unsinn !!
>
> X-Koord [mm]\frac{4}{3}[/mm] mit Radius [mm]\frac{1}{3}[/mm]
Unsinn !
>
> Also müsste ja eigentlich der selbe Radius bei y auch
> wieder herauskommen...
>
> also habe ich nun:
> [mm](x-x_m)^2 +(y-y_m)^2[/mm] = [mm]r^2[/mm]
> [mm]\gdw (x-\frac{4}{3})^2+(y-y_m)^2[/mm] = [mm]r^2[/mm]
>
> nun berechnung der y- Koord.
>
>
> Also löse ich nun
>
> [mm]y^2-\frac{2}{3}y+1[/mm]
>
> quad. erg.
>
> [mm](y-\frac{1}{2}*\frac{2}{3})^2[/mm] = -1 + [mm]\frac{1}{9}[/mm]
> [mm]\gdw (y-\frac{1}{2}*\frac{2}{3})^2[/mm] = [mm]-\frac{8}{9}[/mm]
> [mm]\gdw (y-\frac{1}{3})^2[/mm] = [mm]-\frac{8}{9}[/mm]
Unsinn !
Ich hab keine Ahnung was Du da treibst
[mm]x^2-\frac{8}{3}x+1+y^2-\frac{2}{3}y=0[/mm] [mm] \gdw [/mm]
[mm](x-4/3)^2-\bruch{16}{9}+1+(y-1/3)^2 -\bruch{1}{9}= 0[/mm] [mm] \gdw [/mm]
[mm](x-4/3)^2+(y-1/3)^2 = \bruch{8}{9}[/mm]
FRED
>
> aber das passt doch schon wieder nicht. Ich glaube ich
> löse die falsche gleichung von y...
>
> grüße
>
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:53 Di 14.07.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
ok, danke! nun meine letzte frage, ist diese Menge ein Gebiet in [mm] \IC?
[/mm]
Wie könnte ich so etwas nachweisen?
Grüße
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Hallo Bodo,
diese letzte Menge ist ja ein Kreisrand.
Ein Gebiet ist eine offene und zusammenhängende Menge.
Ist ein Kreisrand eine offene Menge? Wenn ja, warum, wenn nein, warum nicht?
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:38 Di 14.07.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
ich würde sagen, ein Kreisrand ist keine "offene Menge" da ja etwas offenes ja keinen Rand hat ... Damit ist eine Bedinung verletzt und damit kein Gebiet
Grüße
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Hallo nochmal,
> Hallo,
>
> ich würde sagen, ein Kreisrand ist keine "offene Menge" da
> ja etwas offenes ja keinen Rand hat ... Damit ist eine
> Bedinung verletzt und damit kein Gebiet ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Versuche, das mal mathematischer zu begründen
Das ist nicht sonderlich kompliziert ...
Wie ist denn "offene Menge" definiert?
>
> Grüße
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:35 Mi 15.07.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
könntet ihr mir nooch sagen, wie der Kreis nun im Koordinatensystem aussieht? Sind es nun 2 Kreise oder 1?
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:22 Mi 15.07.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Bodo!
Es handelt sich um 1 Kreis.
Gruß
Loddar
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
