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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:14 Sa 14.11.2009 | | Autor: | zocca21 |
| Aufgabe | Geben sie die Lösung der Gleichung
[mm] x^{3} [/mm] + (1-2i) [mm] z^2 [/mm] - (1+i)z = 0
an.
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wenn ich folgendes ausmultipliziere erhalte ich:
z³ + z² - 2z²i - z + zi = 0 (1)
dann wäre ja,
z^³+z²-z(Realteil)
-2z²i + zi(Imaginärteil)
Nun hab ich bei Gleichung (1) x ausgeklammert. z1=0
z² + z - 1 - 2zi + i =0
Wieder habe ich ja Realteil und Imaginärteil..
Kann ich die nun getrennt betrachten? Also Mitternachtsformel beim Relateil und Umformen beim Imaginärteil?
Wie geh ich da genau vor?
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:49 Sa 14.11.2009 | | Autor: | Infinit |
Hallo zocca21,
die Größe z ist bereits eine komplexe Zahl. Schreibe also
$$ z = x + iy $$
und multipliziere den linken Teil der Gleichung aus.
Danach hast Du wieder eine komplexe Zahl, deren Real- und deren Imaginärteil Null sein muss. Ich gebe zu, das ist schon ein bisschen was zu rechnen.
Viel Erfolg dabei,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:33 Sa 14.11.2009 | | Autor: | zocca21 |
Erstmal Vielen Dank.
Nun habe ich ja,
(x+yi)³ + (1-2i)(x+yi)² - (1+i)(x+yi) = 0
gibt ausmultipliziert bei mir (wenn ich alle i² = -1 setze):
x³ + 3 x²yi - 3xy - y³i + x² + 2xyi - y² - 2x²i + 4xy + 2y² i - x + yi - xi +y = 0
Wie komm ich bei sowas weiter, wenn ich 3 variablen habe...mein Imgainärteil ist ja eig yi. Zu was gehört nun nur y?
Danke..mir fehlt da noch das Grundverständnis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:55 Sa 14.11.2009 | | Autor: | Infinit |
Nach dem Ausmultiplizieren geht es ans Sortieren. Das i sorgt immer wieder für Verwirrung, es ist aber nichts weiter als ein Kennzeichen dafür, dass der dahinterstehende Term zum Imaginärteil gehört. Ein Beispiel:
Der Imaginärteil des Ausdruck 3 + 5i ist 5 und nicht 5i. Du hast also bei Deiner Gleichung zwei Unbekannte, nämlich x und y, und diese kommen sowohl im Real- wie auch im Imaginärteil vor. Damit die Gleichung erfüllt wird, müssen beide Teile, der Real- sowie auch der Imaginärteil, Null ergeben.
Denn die 0 ist nichts weiter als
0 + i0.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:15 Sa 14.11.2009 | | Autor: | zocca21 |
Genau, das ist mir mittlerweile bewusst..
Ich frag mich nur gerade bei so großen Termen mit 2 Variablen wie ich nun vereinfache...hätte man dies auch lösen können wenn man Z stehen lässt?
Danke schon mal vielmals!
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Hallo!
Also, deine Gleichung lautet:
[mm] $z^{3} [/mm] + [mm] (1-2*i)*z^{2}-(1+i)*z [/mm] = 0$
Bevor du $x = x+y*i$ setzt (was nicht unbedingt notwendig ist!), sollte dir auffallen dass du oben z ausklammern kannst:
[mm] $\gdw z*\Big(z^{2} [/mm] + [mm] (1-2*i)*z-(1+i)\Big) [/mm] = 0$
und somit eine Lösung schonmal sicher z = 0 ist. Im Weiteren musst du dann nur noch
[mm] $z^{2} [/mm] + (1-2*i)*z-(1+i) = 0$
betrachten. Im Übrigen gilt die quadratische Lösungsformel auch für quadratische Gleichungen im Komplexen. Wenn du "zufällig" unter der Wurzel dann was schönes rausbekommen solltest, kannst du die Lösungen sehr einfach berechnen.
Probiers aus!
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Zu der $z = x+i*y$-Variante: Dann wäre jetzt
[mm] $(x+i*y)^{2} [/mm] + (1-2*i)*(x+i*y)-(1+i) = 0$
[mm] $\gdw (x^{2}+2*i*x*y-y^{2}) [/mm] + (x + i*y - 2*i*x + 2*y) - (1+i) = 0$
und dann sortiert nach Real- und Imaginärteil [mm] ($x,y\in\IR$ [/mm] !):
[mm] $\gdw (x^{2}-y^{2} [/mm] + x + 2y - 1) + i*(2x*y + y - 2x - 1) = 0$
Also erhältst du die beiden Gleichungen:
[mm] $x^{2}-y^{2} [/mm] + x + 2y - 1 = 0$
$2x*y + y - 2x - 1 = 0$.
Woraus du dann ebenfalls die fehlenden zwei Lösungen berechnen kannst.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:56 Sa 14.11.2009 | | Autor: | zocca21 |
Danke, habs gelöst.
Wenn ich Z stehen lass fällt es mir leichter denk ich...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:47 Sa 14.11.2009 | | Autor: | zocca21 |
Nun arbeite ich gerade an einer ähnlichen Aufgabe und will deshalb nich extra einen neuen Thread aufmachen:
nun habe ich ausgangswert (z - i) ³ = - 8
Müsste meiner Meinung nach die Nullstellen - 2 + i und -2 - i haben..Laut Lösung aber nur das letztere, wieso?
Nach Ausmultiplizieren bin ich bei:
z³ - 3z^²i - 3z + i = - 8
Nun kann ich ja sicher mit meiner Nullstelle irgendwie eine Polynomdivision durchführen, nur wie stell ich diese an, wenn ich eine Nullstelle wie -2 - i habe..
Danke nochmal
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:11 Sa 14.11.2009 | | Autor: | abakus |
> Nun arbeite ich gerade an einer ähnlichen Aufgabe und will
> deshalb nich extra einen neuen Thread aufmachen:
>
> nun habe ich ausgangswert (z - i) ³ = - 8
Hallo,
substituiere mal z-i=k.
Die Gleichung [mm] k^3=-8 [/mm] hat nach Moivre-Formel 3 Lösungen:
2*(cos 60°+i*sin 60°)
2*(cos 180°+i*sin 180°)
2*(cos 300°+i*sin 300°)
Ausrechnen und Rücksubstitution nicht vergessen...
Gruß Abakus
>
> Müsste meiner Meinung nach die Nullstellen - 2 + i und -2
> - i haben..Laut Lösung aber nur das letztere, wieso?
>
> Nach Ausmultiplizieren bin ich bei:
>
> z³ - 3z^²i - 3z + i = - 8
>
> Nun kann ich ja sicher mit meiner Nullstelle irgendwie eine
> Polynomdivision durchführen, nur wie stell ich diese an,
> wenn ich eine Nullstelle wie -2 - i habe..
>
> Danke nochmal
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:23 So 15.11.2009 | | Autor: | zocca21 |
Ah perfekt...ist über dies über moivre die einzige möglichkeit wie man es lösen kann?
Die Formel ist mir geläufig aber wie kommst du auf Winkel?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:09 So 15.11.2009 | | Autor: | abakus |
> Ah perfekt...ist über dies über moivre die einzige
> möglichkeit wie man es lösen kann?
>
> Die Formel ist mir geläufig aber wie kommst du auf Winkel?
Hallo,
du suchst Lösungen der Gleichung [mm] z^3=-8=2^3*(cos [/mm] 180° +i*sin180°)
Der Betrag der gesuchten komplexen Zahlen muss also 2 sein, und das dreifache des Arguments muss 180° (oder 180°+360° oder 180°+2*360°) ergeben.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:17 So 15.11.2009 | | Autor: | zocca21 |
Genau, wegen der Laufvariablen k.
Meine Gleichung ist ja bei Moivre:
[mm] \wurzel[n]{r} [/mm] * (cos (psy/n + k * 2pi/n) + i sin(psy/n + k * 2pi/n))
Der Betrag ist r...
K ist ja n-1 also 0,1,2
Beim Betrachten des Arguments ist doch eig: tang psy = y/x
Was nun bei mir aber einen falschen Winkel geben würde, da ja y=0 und x=-8 ist.
Mir ist schon vom Bildlichen her klar, dass wenn ich nur eine negative Zahl im Realteil habe, der Winkel 180 Grad sein muss, aber wie komm ich von der Formel her hin.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:48 So 15.11.2009 | | Autor: | Infinit |
Hallo zocca21,
das ist etwas, was Dir keine Formel auffangen wird. Der Arcustangens ist nun mal pi-periodisch und insofern hast Du eine Unsicherheit, was den Winkel betrifft, immer dabei. Hier hilft Dir nur der Blick ins kartesische Koordinatensystem, wie Du es ja auch getan hast.
Viele Grüße,
Infinit
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