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| Aufgabe | | Skizzieren Sie die Menge aller z [mm] \in \IC [/mm] für die |z|<|z-2i|<3 ist. |
Hallo,
leider habe ich hier nicht so recht die Ahnung, wie ich das genau angehen soll.
Ich habe ja ein "Koordinatensystem" mit x für den reelen-Teil und y für den Imaginär-Teil.
Mit der Aussage <3 weiß ich ja, dass ich einen Radius mit 3 habe und die Menge aufjedenfall nicht außerhalb ist.
Aber mit der Aussage:
|z|<|z-2i| kann ich leider nicht so viel anfangen.
Hoffe das mir jemand helfen kann.
mfg
albert
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:18 So 25.11.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Albert!
Setze $z \ := \ a+b*i$ und wende die Definition für den Betrag einer komplexen Zahl an.
Damit erhältst Du dann eine Bestimmungsgleichung, welche eine Bedingung für $b_$ angibt.
Gruß
Loddar
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Die Betragsdesinition ist ja
[mm] \wurzel[2]{a²+b²}
[/mm]
somit hab ich dann:
[mm] \wurzel[2]{a^{2}+b^{2}}<\wurzel[2]{a^{2}+b^{2}+4}, [/mm] da 4i² =-4 ist.
Umstellen sieht jetzt irgendwie blöd aus.
Was ist da jetzt falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:45 So 25.11.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Albert!
Du ignorierst hier gekonnt die binomischen Formeln.
Es gilt: [mm]|z-2i| \ = \ |a+b*i-2i| \ = \ |a+(b-2)*i| \ = \ \wurzel{a^2+(b-2)^2} \ = \ ...[/mm]
Gruß
Loddar
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Kann man dann daraus folgern, dass der imaginär teil < als 2i sein muss?
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Hallo AlbertHerum,
> Kann man dann daraus folgern, dass der imaginär teil < als 2i sein muss?
Das wäre eine ziemlich unsinnige Aussage, denn der Imaginärteil ist eine reelle Zahl.
Und in den komplexen Zahlen gibt es keine Anordung, da sind "Größenvergleiche" nicht sinnvoll.
Du bist bei der 1.Ungleichung, also [mm]|z|<|z-2i|[/mm] ?!
Wenn du wie empfohlen einsetzt, hast du [mm]|a+bi|<|a+(b-2)i|[/mm]
[mm]\gdw \sqrt{a^2+b^2}<\sqrt{a^2+(b-2)^2}[/mm]
Das nun quadrieren, dann fällt [mm]a[/mm] komplett raus, auch [mm] $b^2$ [/mm] fällt dann weg.
Rechne ab hier nochmal nach, welche Bedingung sich für den Imaginärteil [mm]b[/mm] ergibt ...
Gruß
schachuzipus
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okay, danke für die Antwort.
Dann gilt:
a²+b²<a²+b²-4b+4
4b < 4
b<1
Vielen Danke für die Hilfe
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Hallo nochmal,
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Gruß
schachuzipus<a²+b²-4b+4
</a²+b²-4b+4
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