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| Aufgabe | Geben Sie für folgende komplexe Zahlen jeweils Real- und Imaginärteil, sowie den Betrag an.
a) [mm] \summe_{k=1}^{1993} i^{k}
[/mm]
b) [mm] \bruch{(4+i)}{(4-i)} [/mm] |
Hallo,
ich stehe vor diesen Aufgaben und bin mir nicht ganz sicher.
Zu Aufgabe a)
Da habe ich keine Ahnung wie ich da anfangen soll... was ist das denn für eine komplexe Zahl? Realteil = 0 ; Imaginärteil = 1 ? und i hoch k ?!?
Zu Aufgabe b)
Da habe ich zuerst die einzelnen K-Zahlen in E-Form umgewandelt.
[mm] |z1|=\wurzel{4^{2}+1^{2}} [/mm] = [mm] \wurzel{17}
[/mm]
und
[mm] |z2|=\wurzel{4^{2}+(-1^{2})} [/mm] = [mm] \wurzel{17}
[/mm]
dann benötige ich noch Phi, finde allerdings das Symbol hier nicht, also nehme ich für Phi: [mm] \delta
[/mm]
[mm] \delta1 [/mm] = [mm] arctan(\bruch{1}{4}) [/mm] = ~ 0,2450 Rad ... im 1. quadranten(kein +Pi)
[mm] \delta2 [/mm] = [mm] arctan(-\bruch{1}{4}) [/mm] = ~ -0,2450 Rad ... im 4. quadranten(kein +Pi)
Nun stelle ich nochmal die Rechnung auf:
[mm] \bruch{\wurzel{17}*e^{0,2450i}}{\wurzel{17}*e^{-0,2450i}}
[/mm]
Wurzel kürzen.
[mm] \bruch{e^{0,2450i}}{e^{-0,2450i}}
[/mm]
nun den Nenner hoch holen durch tauschen des Vorzeichens:
[mm] e^{0,2450i} [/mm] * [mm] e^{0,2450i}
[/mm]
ehm,,,,jetzt kommen wieder die Potenzgesetze :-P...wie war das nochmal....
[mm] a^{x} [/mm] * [mm] b^{x} [/mm] = [mm] (a*b)^{x}
[/mm]
[mm] a^{x} [/mm] * [mm] a^{y} [/mm] = [mm] (a)^{(x+y)}
[/mm]
nur was ist nochmal:
[mm] a^{x} [/mm] * [mm] a^{x} [/mm] = ?
wenn ich eine Beispielaufgabe in meinem Taschenrechner betrachte [mm] (3^{3})*(3^{3}) [/mm] = [mm] (9^{3})
[/mm]
also: [mm] a^{x} [/mm] * [mm] a^{x} [/mm] = [mm] (a*a)^{x}
[/mm]
auf diese Aufgabe übertragen wäre das:
[mm] (e*e)^{0,2450i} [/mm] = [mm] (e^{2})^{0,2450i} [/mm] = [mm] e^{0,49i}
[/mm]
Also wäre der neue Betrag = 1
um nun den neuen Re und Im zu bekommen, muss ich das nun wieder in die K-Form bringen....über die P-Form...
K-Form= a+ib
P-Form= |z| * [mm] (cos\delta+i*sin\delta)
[/mm]
E-Form= |z| * [mm] e^{i\delta} [/mm]
|z| = 1
[mm] \delta [/mm] = 0,49rad
Eingesetzt in |z| * [mm] (cos\delta+i*sin\delta) [/mm] =
1 * (cos(0,49)+i*sin(0,49)) = (cos(0,49)+i*sin(0,49)) =
Re = cos(0,49) = ~ 0,8823
Im = sin(0,49) = ~ 0,4706
Ich hoffe, dass ich wenigstens Aufgabe B richtig habe ?!??
Gruß Rudi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Rudi
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Geben Sie für folgende komplexe Zahlen jeweils Real- und
> Imaginärteil, sowie den Betrag an.
>
> a) [mm]\summe_{k=1}^{1993} i^{k}[/mm]
>
> b) [mm]\bruch{(4+i)}{(4-i)}[/mm]
> Zu Aufgabe a)
>
> Da habe ich keine Ahnung wie ich da anfangen soll... was
> ist das denn für eine komplexe Zahl? Realteil = 0 ;
> Imaginärteil = 1 ? und i hoch k ?!?
Schau dir doch bitte mal die ersten paar Summanden
dieser Summe an, also etwa [mm] i^1 [/mm] , [mm] i^2 [/mm] , [mm] i^3 [/mm] , [mm] i^4 [/mm] , [mm] i^5 [/mm] , [mm] i^6 [/mm] .
Was fällt dir dabei auf ?
Welche Summe ergeben die ersten 4 Summanden ?
Dann wird's gaaanz einfach !
> Zu Aufgabe b)
>
> Da habe ich zuerst die einzelnen K-Zahlen in E-Form
> umgewandelt.
Das lohnt sich für diese Aufgabe kaum !
> [mm]|z1|=\wurzel{4^{2}+1^{2}}[/mm] = [mm]\wurzel{17}[/mm]
>
> und
>
> [mm]|z2|=\wurzel{4^{2}+(-1^{2})}[/mm] = [mm]\wurzel{17}[/mm]
>
>
> dann benötige ich noch Phi, finde allerdings das Symbol
> hier nicht, also nehme ich für Phi: [mm]\delta[/mm]
Das Symbol für das [mm] \varphi [/mm] wäre: \varphi
> [mm]\delta1[/mm] = [mm]arctan(\bruch{1}{4})[/mm] = ~ 0,2450 Rad ... im 1.
> quadranten(kein +Pi)
>
> [mm]\delta2[/mm] = [mm]arctan(-\bruch{1}{4})[/mm] = ~ -0,2450 Rad ... im 4.
> quadranten(kein +Pi)
>
>
> [mm]a^{x}[/mm] * [mm]b^{x}[/mm] = [mm](a*b)^{x}[/mm]
>
> [mm]a^{x}[/mm] * [mm]a^{y}[/mm] = [mm](a)^{(x+y)}[/mm]
>
> nur was ist nochmal:
>
> [mm]a^{x}[/mm] * [mm]a^{x}[/mm] = ?
>
>
> wenn ich eine Beispielaufgabe in meinem Taschenrechner
> betrachte [mm](3^{3})*(3^{3})[/mm] = [mm](9^{3})[/mm]
> also: [mm]a^{x}[/mm] * [mm]a^{x}[/mm] = [mm](a*a)^{x}[/mm]
>
>
> auf diese Aufgabe übertragen wäre das:
>
> [mm](e*e)^{0,2450i}[/mm] = [mm](e^{2})^{0,2450i}[/mm] = [mm]e^{0,49i}[/mm]
>
>
> Also wäre der neue Betrag = 1
>
> um nun den neuen Re und Im zu bekommen, muss ich das nun
> wieder in die K-Form bringen....über die P-Form...
>
> K-Form= a+ib
> P-Form= |z| * [mm](cos\delta+i*sin\delta)[/mm]
> E-Form= |z| * [mm]e^{i\delta}[/mm]
>
> |z| = 1
> [mm]\delta[/mm] = 0,49rad
>
> Eingesetzt in |z| * [mm](cos\delta+i*sin\delta)[/mm] =
>
> 1 * (cos(0,49)+i*sin(0,49)) = (cos(0,49)+i*sin(0,49)) =
>
> Re = cos(0,49) = ~ 0,8823
>
> Im = sin(0,49) = ~ 0,4706
>
>
> Ich hoffe, dass ich wenigstens Aufgabe B richtig habe ?!??
Ja, die Ergebnisse stimmen.
Es wäre aber leichter gegangen nach dem Rezept: Ein Bruch
aus komplexen Zahlen wird berechnet, indem man ihn
zunächst mit dem konjugierten Wert des Nenners erweitert.
So erhält man einen Bruch mit reellem Nenner und kann
dann den Realteil und den Imaginärteil des Bruches
ermitteln.
Großer Vorteil gegenüber deinem Lösungsweg: man
erhält das exakte Ergebnis in Bruchform anstatt nur
Näherungswerten.
LG , Al-Chwarizmi
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Erstmal vielen Dank!
Also nochmal....
zu A:
Du sagtest:
Schau dir doch bitte mal die ersten paar Summanden
dieser Summe an, also etwa $ [mm] i^1 [/mm] $ , $ [mm] i^2 [/mm] $ , $ [mm] i^3 [/mm] $ , $ [mm] i^4 [/mm] $ , $ [mm] i^5 [/mm] $ , $ [mm] i^6 [/mm] $ .
Was fällt dir dabei auf ?
Welche Summe ergeben die ersten 4 Summanden ?
Dann wird's gaaanz einfach !
Ehm,
[mm] i^1= [/mm] ist "wurzel aus -1" oder -1^(0,5)
[mm] i^2 [/mm] = -1
[mm] i^3 [/mm] = wie kann ich das mit meinen taschrechner herausfinden ?
[mm] i^4 [/mm] = ich -1 * -1 rechne kommt 1 raus
könntest du mir weiterhelfen ? wieso wird es einfach ?
EDIT:
so wie ich vermute wechselt es einfach nur immer zwischen -1 und 1 ? kann das sein ? kann es leider nicht mit meinem casio fx-991de plus kontrollieren...wenn ich in den komplexe zahlen-modus gehe und [mm] i^4 [/mm] eingebe, bricht er ab...nur bei [mm] i^2 [/mm] zeigt er mir die -1...alles andere abbruch ?!?
AUFGABE B:
du sagtest:
Es wäre aber leichter gegangen nach dem Rezept: Ein Bruch
aus komplexen Zahlen wird berechnet, indem man ihn
zunächst mit dem konjugierten Wert des Nenners erweitert.
ich habe den satz nicht ganz verstanden...
meinst du so:
[mm] \bruch{(4+i)*(4-i)}{(4-i)*(4+i)} [/mm] = [mm] \bruch{(16 -4i +4i -i^2)}{(16 +4i -4i -i^2)} [/mm] = [mm] \bruch{(16-(-1))}{(16-(-1))} [/mm] ?????????????????????
ich kenne nur, wenn ich daraus dann die wurzel ziehen würde, würde ich den Betrag von z bekommen...
Gruß Rudi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:59 Mi 14.01.2015 | | Autor: | Loddar |
Hallo Rudi!
Trennen wir mal die beiden Aufgaben, bevor hier das Chaos einzieht im Thread.
> EDIT:
> so wie ich vermute wechselt es einfach nur immer zwischen
> -1 und 1 ? kann das sein ? kann es leider nicht mit meinem
> casio fx-991de plus kontrollieren...wenn ich in den
> komplexe zahlen-modus gehe und [mm]i^4[/mm] eingebe, bricht er
> ab...nur bei [mm]i^2[/mm] zeigt er mir die -1...alles andere abbruch ?!?
![[lehrer]](/images/smileys/lehrer.gif "[lehrer]") Das ist nichts, was man mit Taschenrechner rechnen muss.
Es gilt:
[mm] $i^1 [/mm] \ = \ i$
[mm] $i^2 [/mm] \ = \ -1$ (nach Definition)
[mm] $i^3 [/mm] \ = \ [mm] i^2*i [/mm] \ = \ (-1)*i \ = \ -i$
[mm] $i^4 [/mm] \ = \ [mm] i^2*i^2 [/mm] \ = \ (-1)*(-1) \ = \ +1$
Und nun addieren wir:
[mm] $i^1+i^2+i^3+i^4 [/mm] \ = \ i+(-1)+(-i)+(+1) \ = \ ...$
Gruß
Loddar
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stimmt, das mit dem trennen ist besser.
also:
Und nun addieren wir:
[mm] i^1+i^2+i^3+i^4 [/mm] \ = i+(-1)+(-i)+(+1) = 0?
das heißt, i und -i wechseln sich die ganze zeit ab, genauso wie 1 und -1 sich die ganze zeit abwechseln....
es ist aber = 0 bei geradem exponent ...unser ende ist allerdings bei ungeradem (1993)... heißt das, dass wir dann bei -i sind ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:47 Mi 14.01.2015 | | Autor: | Loddar |
Hallo Rudi!
> Und nun addieren wir:
> [mm]i^1+i^2+i^3+i^4[/mm] \ = i+(-1)+(-i)+(+1) = 0?
> das heißt, i und -i wechseln sich die ganze zeit ab,
> genauso wie 1 und -1 sich die ganze zeit abwechseln....
> es ist aber = 0 bei geradem exponent ...
Du meinst, wenn die Teilsumme bei einem Vielfachen von 4 endet.
> unser ende ist allerdings bei ungeradem (1993)...
> heißt das, dass wir dann bei -i sind ?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Schreibe es sauber auf:
[mm] $\summe_{k=1}^{1993}i^k [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=1}^{1992}i^k+\summe_{k=1993}^{1993}i^k [/mm] \ = \ [mm] 0+i^{1993} [/mm] \ = \ ...$
Gruß
Loddar
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Schreibe es sauber auf:
$ [mm] \summe_{k=1}^{1993}i^k [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=1}^{1992}i^k+\summe_{k=1993}^{1993}i^k [/mm] \ = \ [mm] 0+i^{1993} [/mm] \ = \ ... $ i
in laiensprache:
also weil 1992 ein vielfaches von 4 ist und bei ^4 =0 ist, gilt dies auch bei 1992. also kommt bei mir bei [mm] i^5 [/mm] = i .... also ist 1993 = i
????
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:41 Mi 14.01.2015 | | Autor: | chrisno |
> Schreibe es sauber auf:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{1993}i^k \ = \ \summe_{k=1}^{1992}i^k+\summe_{k=1993}^{1993}i^k \ = \ 0+i^{1993} \ = \ ...[/mm]
> i
>
> in laiensprache:
Du solltest Dir eine genauere Ausdrucksweise angewöhnen:
> also weil 1992 ein vielfaches von 4 ist und bei ^4 =0 ist,
> gilt dies auch bei 1992.
So ist es praktisch unverständlich, wenn man nicht weiß, was es heißen soll.
"Da für vier aufeinander folgende Summanden der Form [mm] $i^k$ [/mm] gilt, dass die Summe zu Null wird, gilt des auch für Vielfache von vier, also 1992."
> also kommt bei mir bei [mm]i^5[/mm] = i
Ich erhalte [mm] $i^5=i$.
[/mm]
> .... also ist 1993 = i
Lies das mal, dann merkst Du selbst das es so unsinnig wie 7 = 19 ist, was da steht. Ich verweise auf die erste zitierte Zeile dieses Beitrags.
>
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ich verstehe leidern icht was du mir sagen willst, oder warum es unsinnig oder falsch ist ?!?
[mm] \summe_{k=1}^{1993} i^{k} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{1992} i^{k} [/mm] + [mm] \summe_{k=1993}^{1993} i^{k} [/mm] = 0 + das 1993. Glied ?, also i ? = 0 + i ? = i ???
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> ich verstehe leidern icht was du mir sagen willst, oder
> warum es unsinnig oder falsch ist ?!?
>
> [mm]\summe_{k=1}^{1993} i^{k}[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{1992} i^{k}[/mm] +
> [mm]\summe_{k=1993}^{1993} i^{k}[/mm] = 0 + das 1993. Glied ?, also
> i ? = 0 + i ? = i ???
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:35 Do 15.01.2015 | | Autor: | chrisno |
> ich verstehe leidern icht was du mir sagen willst, oder
> warum es unsinnig oder falsch ist ?!?
Ich bemängle Deine Ausdrucksweise. Du meinst das Richtige. Was sagst Du, wenn Du 27 = 256 liest?
Ich sage, dass es falsch ist. Du hast geschrieben
> also ist 1993 = i
aber 1993 ist nicht i.
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achso, ok , ich verstehe was du meinst......ich weiß auch, dass ich es in einer klausur anders ausdrücken müsste....aber ich dachte ihr wisst was ich meine =) ...
ich versuche mich ein wenig genauer auszudrücken in zukunft =)
danke euch !
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:03 Mi 14.01.2015 | | Autor: | Loddar |
Hallo Rudi!
> meinst du so:
> [mm]\bruch{(4+i)*(4-i)}{(4-i)*(4+i)}[/mm] = [mm]\bruch{(16 -4i +4i -i^2)}{(16 +4i -4i -i^2)}[/mm] = [mm]\bruch{(16-(-1))}{(16-(-1))}[/mm] ?????????????????????
Du veränderst ja den Wert dieses Bruchtermes.
Einen Bruch erweitern, bedeutet, in Zähler und Nenner gleichzeitig mit demselben Term zu multiplizieren.
[mm] $\bruch{4+i}{4-i} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{4+i}{4-i}*\red{\bruch{4+i}{4+i}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(4+i)*(4+i)}{(4-i)*(4+i)} [/mm] \ = \ ...$
Gruß
Loddar
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ok, habe seinen satz irgendwie nicht aufgenommen....erweitern mit dem komplex konjugierten NENNER.....dieses NENNER habe ich überlesen bzw. nicht aufgenommen....
[mm] \bruch{4+i}{4-i} [/mm] = [mm] \bruch{4+i}{4-i}\cdot{}\red{\bruch{4+i}{4+i}} [/mm] = [mm] \bruch{(4+i)\cdot{}(4+i)}{(4-i)\cdot{}(4+i)} [/mm] = [mm] \bruch{16+4i+4i+i^2}{16+4-4-i^2} [/mm] = [mm] \bruch{15+8i}{17} [/mm] = [mm] \bruch{15}{17}+\bruch{8}{17}i
[/mm]
eeeaassyyyy =)
also brauch ich bei einer division die k-form garnicht erst in die eform umwandeln und kann mir den stress und die arbeit ersparen !?!?
thxxxx
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:20 Mi 14.01.2015 | | Autor: | Loddar |
Hallo Rudi!
> [mm]\bruch{4+i}{4-i}[/mm] = [mm]\bruch{4+i}{4-i}\cdot{}\red{\bruch{4+i}{4+i}}[/mm] = [mm]\bruch{(4+i)\cdot{}(4+i)}{(4-i)\cdot{}(4+i)}[/mm] = [mm]\bruch{16+4i+4i+i^2}{16+4-4-i^2}[/mm] = [mm]\bruch{15+8i}{17}[/mm] = [mm]\bruch{15}{17}+\bruch{8}{17}i[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> also brauch ich bei einer division die k-form garnicht erst
> in die eform umwandeln und kann mir den stress und die
> arbeit ersparen !?!?
Richtig.
Gruß
Loddar
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