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Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen" - Komplexe zahlen
Komplexe zahlen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Komplexe zahlen: Übung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:26 Mi 10.04.2013
Autor: ellegance88

Aufgabe
Stellen Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Form x+yi  mit x,y [mm] \in \IR [/mm] dar

[mm] \bruch{1}{1+4i} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4-i} [/mm]

Hallo,

ich habe als erstes den gemeinsamen Hauptnenner gebildet.

[mm] \bruch{3i+5}{15i+8} [/mm]

dann habe ich,

[mm] \bruch{3i+5}{15i+8} [/mm] * [mm] \bruch{15i-8}{15i-8} [/mm]

= [mm] \bruch{-85+51i}{49} [/mm] = [mm] \bruch{-85}{49} [/mm] + [mm] \bruch{51}{49}i [/mm]

ist das richtig? oder habe ich irgendwo ein Fehler gemacht?



        
Bezug
Komplexe zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:36 Mi 10.04.2013
Autor: fred97


> Stellen Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Form x+yi
>  mit x,y [mm]\in \IR[/mm] dar
>  
> [mm]\bruch{1}{1+4i}[/mm] + [mm]\bruch{1}{4-i}[/mm]
>  Hallo,
>  
> ich habe als erstes den gemeinsamen Hauptnenner gebildet.
>  
> [mm]\bruch{3i+5}{15i+8}[/mm]
>  
> dann habe ich,
>  
> [mm]\bruch{3i+5}{15i+8}[/mm] * [mm]\bruch{15i-8}{15i-8}[/mm]
>  
> = [mm]\bruch{-85+51i}{49}[/mm] = [mm]\bruch{-85}{49}[/mm] + [mm]\bruch{51}{49}i[/mm]


Das stimmt nicht mehr !

FRED

>  
> ist das richtig? oder habe ich irgendwo ein Fehler
> gemacht?
>  
>  


Bezug
                
Bezug
Komplexe zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:41 Mi 10.04.2013
Autor: ellegance88

bis wohin ist es denn richtig? konnte es nicht sehen bei deiner Korrektur.

Bezug
                        
Bezug
Komplexe zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:46 Mi 10.04.2013
Autor: schachuzipus

Hallo ellegace88,


 > bis wohin ist es denn richtig? konnte es nicht sehen bei

> deiner Korrektur.

Der Hauptnenner stimmt, dann musst du aber mit dem komplex Konjugierten des Nenners erweitern.

[mm] $z=a+bi\Rightarrow \overline [/mm] z=a-bi$

Das komplex Konjugierte von $15i+8$ ist $8-15i$

Gruß

schachuzipus

Bezug
        
Bezug
Komplexe zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:03 Mi 10.04.2013
Autor: reverend

Hallo ellegance,

mal zusammengefasst:

> Stellen Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Form x+yi
> mit x,y [mm]\in \IR[/mm] dar

>

> [mm]\bruch{1}{1+4i}[/mm] + [mm]\bruch{1}{4-i}[/mm]
> Hallo,

>

> ich habe als erstes den gemeinsamen Hauptnenner gebildet.

>

> [mm]\bruch{3i+5}{15i+8}[/mm]

[ok]

> dann habe ich,

>

> [mm]\bruch{3i+5}{15i+8}[/mm] * [mm]\bruch{15i-8}{15i-8}[/mm]

[ok]

...auch wenn schachuzipus Recht hat. Man erweitert normalerweise mit dem komplex Konjugierten, hier also [mm] *\bruch{8-15i}{8-15i}. [/mm] Allerdings macht das keinen Unterschied, denn [mm] \bruch{15i-8}{15i-8}=\bruch{-1*(8-15i}{-1*(8-15i}=1. [/mm]

> = [mm]\bruch{-85+51i}{49}[/mm] = [mm]\bruch{-85}{49}[/mm] + [mm]\bruch{51}{49}i[/mm]

Erst in diesem Schritt hast Du Dich verrechnet. Ich nehme an, Du machst zuviele Umformungen auf einmal, da kommt man leicht durcheinander.

Mal langsamer:

[mm] \bruch{3i+5}{15i+8}*\bruch{15i-8}{15i-8}=\bruch{-45-40+75i-24i}{-225-64}=\bruch{-85+51i}{-289}=\bruch{5-3i}{17}=\bruch{5}{17}-\bruch{3}{17}i [/mm]

> ist das richtig? oder habe ich irgendwo ein Fehler
> gemacht?

Siehe oben.

Grüße
reverend

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Bezug
Komplexe zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:10 Mi 10.04.2013
Autor: ellegance88

Okay, aber wenn ich jetzt mit -8 +15i rechnen würde würde ich am ende auf das selbe Ergebnis kommen oder?
Wenn ja probiere ich das gleich mal aus.
also Endergebnis: [mm] \bruch{5}{17} [/mm] - [mm] \bruch{3}{17}i [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Komplexe zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:11 Mi 10.04.2013
Autor: fred97


> Okay, aber wenn ich jetzt mit -8 +15i rechnen würde würde
> ich am ende auf das selbe Ergebnis kommen oder?

Ja, wenn Du Dich nicht verrechnest !

fred

>  Wenn ja probiere ich das gleich mal aus.
>  also Endergebnis: [mm]\bruch{5}{17}[/mm] - [mm]\bruch{3}{17}i[/mm]  


Bezug
                                
Bezug
Komplexe zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:12 Mi 10.04.2013
Autor: ellegance88

Danke.

Bezug
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