Komplexen Term vereinfachen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:21 Fr 28.12.2007 | | Autor: | ebarni |
| Aufgabe | | [mm] f(x+iy) = \bruch{1}{\wurzel{1-y^{2}} + i*\wurzel{1-x^{2}}} - 1 [/mm] |
Hallo zusammen,
hier handelt es sich wohl um eine komplexe rationale Funktion.
Um den Nenner reell zu bekommen, kann ich doch konjungiert komplex erweitern:
[mm] f(x+iy) = \bruch{1}{\wurzel{1-y^{2}} + i*\wurzel{1-x^{2}}} - 1 [/mm]
[mm] f(x+iy) = \bruch{1}{\wurzel{1-y^{2}} + i*\wurzel{1-x^{2}}} * \bruch{\wurzel{1-y^{2}} - i*\wurzel{1-x^{2}}}{\wurzel{1-y^{2}} - i*\wurzel{1-x^{2}}} - 1 [/mm]
[mm] f(x+iy) = \bruch{\wurzel{1-y^{2}} - i*\wurzel{1-x^{2}}}{(1-y^{2}) + (1-x^{2})} - 1 [/mm]
Jetzt kann man es wahrscheinlich noch vereinfachen, da sowohl im Zähler wie im Nenner die Terme [mm] 1-y^{2}} [/mm] bzw. [mm]1-x^{2}}[/mm] stehen, ich bin mir nur nicht ganz sicher, wie die Vereinfachung aussieht...
Wäre schön, wenn ihr mir weiterhelfen könntet.
Viele Grüße, Andreas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:35 Fr 28.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Andreas!
Im Nenner kann man noch zusammenfassen zu [mm] $2-x^2-y^2$ [/mm] . Und dann kann man die $1_$ mit dem Bruch gleichnamig machen und auf einen Bruchstrich schreiben.
Aber allzuviel bringt das m.E. auch nicht.
Eine weitere Vereinfachung sehe ich hier nicht ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:39 Fr 28.12.2007 | | Autor: | ebarni |
Hallo Loddar, vielen Dank für Deine Antwort!
Bekomme ich mit Deinem Vorschlag den Ausdruck in die allgemeine Form:
[mm] f(z) = x + iy [/mm]
Also mit:
[mm] f(x+iy) = \bruch{\wurzel{1-y^{2}} - i*\wurzel{1-x^{2}}}{(1-y^{2}) +
(1-x^{2})} - 1 [/mm]
[mm] f(x+iy) = \bruch{\wurzel{1-y^{2}} - i*\wurzel{1-x^{2}}}{2-x^{2}-y^{2}} - 1 [/mm]
Viele Grüße, Andreas
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> Hallo Loddar, vielen Dank für Deine Antwort!
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> Bekomme ich mit Deinem Vorschlag den Ausdruck in die
> allgemeine Form:
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> [mm]f(z) = x + iy[/mm]
>
>
> Also mit:
>
> [mm]f(x+iy) = \bruch{\wurzel{1-y^{2}} - i*\wurzel{1-x^{2}}}{(1-y^{2}) +
(1-x^{2})} - 1[/mm]
>
> [mm]f(x+iy) = \bruch{\wurzel{1-y^{2}} - i*\wurzel{1-x^{2}}}{2-x^{2}-y^{2}} - 1[/mm]
Hallo,
ja, Du mußt nun nur so sortieren, daß Du vorn alle reellen Zahlen stehen hast und hinten alles mit dem Faktor i:
f(x+iy) = [mm] [\bruch{\wurzel{1-y^{2}}}{2-x^{2}-y^{2}} [/mm] - 1]+i [mm] \bruch{ - \wurzel{1-x^{2}}}{2-x^{2}-y^{2}}
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:02 Fr 28.12.2007 | | Autor: | ebarni |
Hi Angela!
Kann man denn aus diesem Term erkennen, dass es sich um einen Kreis mit Radius 1 handelt und Mittelpunkt (-1,0) hat? Das müsste nämlich der Fall sein.
[mm] f(x+iy) = [\bruch{\wurzel{1-y^{2}}}{(1-y^{2})+(1-x^{2})} - 1] -i*\bruch{\wurzel{1-x^{2}}}{(1-y^{2})+(1-x^{2})} [/mm]
Liebe Grüße, Andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:24 Fr 28.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Andreas!
Ich muss zugeben, ich kann das nicht hieraus erkennen ...
Aber poste doch mal bitte die ursprüngliche (und vollständige) Aufgabenstellung.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:36 Fr 28.12.2007 | | Autor: | ebarni |
Hi Loddar!
Die ursprüngliche Aufgabe war, den Einheitskreis [mm] x^{2}+y^{2}=1[/mm] in der Transformation [mm]f(x+iy)=\bruch{1-z}{z}[/mm] mit [mm]z=x+iy[/mm] abzubilden.
Ich habe dann zuerst umgestellt:
[mm]f(x+iy)=\bruch{1-z}{z} = \bruch{1}{z} -1 [/mm]
und dann die Bedingung des Einheitskreises [mm]x=\wurzel{1-y^{2}}[/mm] bzw. [mm]y=\wurzel{1-x^{2}}[/mm] in [mm]f(x+iy)=\bruch{1}{z} -1 [/mm] eingesetzt.
So ist das zustande gekommen.
Und es soll als Lösung herauskommen der Einheitskreis um eine Einheit nach links versetzt, also Radius 1 und Mittelpunkt (-1,0).
Viele Grüße, Andreas
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> Die ursprüngliche Aufgabe war, den Einheitskreis
> [mm]x^{2}+y^{2}=1[/mm] in der Transformation [mm]f(x+iy)=\bruch{1-z}{z}[/mm]
> mit [mm]z=x+iy[/mm] abzubilden.
Hallo,
damit vereinfacht sich
$ f(x+iy) = [mm] [\bruch{\wurzel{1-y^{2}}}{(1-y^{2})+(1-x^{2})} [/mm] - 1] [mm] -i\cdot{}\bruch{\wurzel{1-x^{2}}}{(1-y^{2})+(1-x^{2})} [/mm] $
ja sofort zu f(x+iy) = [mm] \wurzel{1-y^{2}}-1 -i\wurzel{1-x^{2}}
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:15 Fr 28.12.2007 | | Autor: | ebarni |
Hallo angela, vielen Dank für Deine Nachricht!
> Hallo,
>
> damit vereinfacht sich
>
> [mm]f(x+iy) = [\bruch{\wurzel{1-y^{2}}}{(1-y^{2})+(1-x^{2})} - 1] -i\cdot{}\bruch{\wurzel{1-x^{2}}}{(1-y^{2})+(1-x^{2})}[/mm]
>
> ja sofort zu f(x+iy) = [mm]\wurzel{1-y^{2}}-1 -i\wurzel{1-x^{2}}[/mm]
>
> Gruß v. Angela
>
Das verstehe ich noch nicht ganz. warum vereinfacht sich das dann sofort zu dem genannten Ausdruck? ![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]")
Liebe Grüße, Andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:17 Fr 28.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Andreas!
Es steht doch im Nenner jeweils [mm] $2-x^2-y^2$ [/mm] .
Das kann man mit [mm] $x^2+y^2 [/mm] \ = \ 1$ umformen zu:
[mm] $$2-x^2-y^2 [/mm] \ = \ [mm] 2-\left(\red{x^2+y^2}\right) [/mm] \ = \ [mm] 2-\red{1} [/mm] \ = \ 1$$
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:29 Fr 28.12.2007 | | Autor: | ebarni |
Hallo Loddar, hallo angela,
ich bin immer wieder begeistert, was ihr so seht und wo ich manchmal blind davor stehe.
![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]")
Vielen Dank und viele Grüße nach Berlin und Kaiserslautern!
Andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:13 Fr 28.12.2007 | | Autor: | BeniMuller |
Lieber Andreas
Ich denke mal, die Aufgabe ist jetzt vollständig gelöst und diese Frage daher auch beantwortet.
Gruss aus Zürich
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:54 Fr 28.12.2007 | | Autor: | ebarni |
Hallo Beni, vielen Dank, ja die Aufgabe ist wohl komplett gelöst!
Viele Grüße nach Zürich!
Andreas
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