Komplizierte F(x) Integrieren < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:26 Di 02.12.2014 | | Autor: | Rzeta |
| Aufgabe | Ein Fallschirmspringer wird annähernd duch die Gleichung:
[mm] m*\bruch{dv}{dt}=-mg-kv|v|, \bruch{dz}{dt}=v; [/mm] (1)
mit den Anfangsbedingungen [mm] z(t=0)=z_0 [/mm] und v(t=0)=0 beschrieben, d.h. er bfinde sich zum Zeitpunkt t=0 am ort [mm] z_0 [/mm] mit der Geschwindigkeit v(t=0)=0. Der Fallschirmspringer habe eine mass m und erfahre während des Sprungs die Luftreibung mit einem Reibungskoeffizient k>0. Die Konstante g sei de Erdbeschleunigung an der ERdoberfläche.
i) Durch Seperation der Variablen kann Gleichung (1) auf die Form
[mm] \integral_{0}^{v(t)}{\bruch{dv'}{(v_e)^2-(v')^2}}=\integral_{0}^{t}{(\bruch{-k}{m}) dt'} [/mm] mit [mm] v_e=\wurzel{\bruch{mg}{k}}; [/mm] (2)
gebracht werden. Bestimmen Sie zunächst die Funktion v(t) durch Integration der Gleichung (2). Die Funktion z(t) ergibt sich durch die Integration der Geschwindigkeit v:
[mm] z(t)-z_0=\integral_{0}^{t}{v(t')dt'}. [/mm] (3)
Bestimmen Sie z(t) explizit durch die Berechnung des Integrals. |
Hallo,
ich sitze gerade vor dieser Aufgabe und verstehe nicht wirklich wie die Gleichungen zu Stande kommen und was/wie ich das berechnen soll. Vielleicht könnt Ihr mir ein paar Fragen beantworten und mir dabei helfen eine Lösung zu finden.
1) Wie komme ich bitte von der Gleichung (1) auf die Gleichung (2). Was ist denn Separation der Variablen. Ich habe in unserem Skript geschaut und die Bezeichnung "Separation der Variablen" komm nicht einmal vor. Ich habe das auch schon im Internet versucht zu recherchieren aber irgendwie kommen da nur Sachen die ich noch nie gesehen habe.
2) Was hat es mit dem t' auf sich. Ich verstehe die Newton notation F' oder v' für die Ableitungen der jeweiligen Funktionen aber wie kann ich eine Ableitung der Zeit haben?
3) Vielleicht wird das deutlicher wenn ich die oben genannten Fragen verstanden habe aber wie gehe ich an so ein Integral (3) generell ran? Ich fühle mich gerade als hätte ich fünf Vorlesungswochen verschlafen und bin heute aufgewacht.
Über jegliche Hilfe wäre ich euch sehr dankbar
Liebe Grüße
Rzeta
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:45 Di 02.12.2014 | | Autor: | chrisno |
> ....
> 1) Wie komme ich bitte von der Gleichung (1) auf die
> Gleichung (2). Was ist denn Separation der Variablen.
Die Methode der Separation der Variablen ist eine Technik um Differentialgleichungen zu lösen. Dabei wird mit den Differentialen "dv" und "dt" umgegangen, als wäre es ein Bruch.
[mm]m*\bruch{dv}{dt}=-mg-kv|v|[/mm]
Forme das um bis ... dv = .... dt da steht. Dabei darf rechts nichts mehr mit v stehen und links nichts mehr mit t (das gibt es sowieso nicht).
> ...
> 2) Was hat es mit dem t' auf sich. Ich verstehe die Newton
> notation F' oder v' für die Ableitungen der jeweiligen
> Funktionen aber wie kann ich eine Ableitung der Zeit
> haben?
Gute Frage. Das ist hier kein Ableitungsstrich. Hier werden die Ableitungen nicht durch Striche gekennzeichnet. Die Variablen unter dem Integral müssen von den Integrationsgrenzenunterschieden werden. Das geschieht mit dem Strich. Du kannst v' überall durch w ersetzen und t' durch u.
>
> 3) Vielleicht wird das deutlicher wenn ich die oben
> genannten Fragen verstanden habe aber wie gehe ich an so
> ein Integral (3) generell ran?
Da kannst Du erst etwas machen, wenn Du die Funktion v im vorigen Schritt bestimmt hast.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:02 Di 02.12.2014 | | Autor: | Rzeta |
Super! Danke für die Anwort. Jetzt macht das ganze schon etwas mehr Sinn. Ich versuche das jetzt alles gleich mal nachzurechnen. Davor hätte ich noch ein kleine kurze Frage:
In der Gleichung
$ [mm] m\cdot{}\bruch{dv}{dt}=-mg-kv|v|, \bruch{dz}{dt}=v; [/mm] $
habe ich ja einmal v mit und einmal v ohne Betrag stehen. Warum wird das nicht einfach zu [mm] v^2 [/mm] zusammengefasst? Oder hat |v| eine andere Bedeutung und muss rechnerisch beim umformen anders behandelt werden?
Liebe Grüße und vielen Dank
Rzeta
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:14 Di 02.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Super! Danke für die Anwort. Jetzt macht das ganze schon
> etwas mehr Sinn. Ich versuche das jetzt alles gleich mal
> nachzurechnen. Davor hätte ich noch ein kleine kurze
> Frage:
>
> In der Gleichung
>
> [mm]m\cdot{}\bruch{dv}{dt}=-mg-kv|v|, \bruch{dz}{dt}=v;[/mm]
>
> habe ich ja einmal v mit und einmal v ohne Betrag stehen.
> Warum wird das nicht einfach zu [mm]v^2[/mm] zusammengefasst?
So einfach ist die Welt nicht gestrickt .....
> Oder
> hat |v| eine andere Bedeutung und muss rechnerisch beim
> umformen anders behandelt werden?
Ich mach Dir ein Beispiel:
Wir betrachte die Funktion $f: [mm] \IR \to \IR$, [/mm] def. durch $f(x)=x*|x|$
Für x [mm] \ge [/mm] 0 ist [mm] f(x)=x^2. [/mm] Für x<0 ist [mm] f(x)=-x^2
[/mm]
FRED
>
> Liebe Grüße und vielen Dank
>
> Rzeta
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:42 Di 02.12.2014 | | Autor: | Rzeta |
Ja das macht natürlich Sinn. Im Nachhinein erscheint immer alles so einfach.
Dankeschön!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:41 Di 02.12.2014 | | Autor: | Rzeta |
So ich habe jetzt mal versucht das umzuformen. Hat irgendwie länger gedauert als erwartet.
[mm] m\cdot{}\bruch{dv}{dt}=-mg-kv|v|
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{dv}{dt}=-g-\bruch{kv|v|}{m}
[/mm]
[mm] \gdw dv=-gdt-\bruch{kv|v|}{m}dt
[/mm]
[mm] \gdw dv=dt(-g-\bruch{kv|v|}{m})
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{dv}{-g-\bruch{kv|v|}{m}}=dt
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{dv}{\bruch{gm}{k}+v|v|}=-\bruch{k}{m}dt
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{dv}{(v_{e})^2+v|v|}=-\bruch{k}{m}dt, [/mm] wobei [mm] v_e=\wurzel{\bruch{gm}{k}}
[/mm]
Irgendwie stimmt jetzt aber ein Vorzeichen nicht. In der Aufgabe ist die Auflösung so angegeben:
[mm] \bruch{dv'}{(v_e)^2-(v')^2}=\bruch{-k}{m} [/mm] dt'
Woher kommt im Bruch das "-" Zeichen?
Liebe Grüße
Rzeta
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:14 Di 02.12.2014 | | Autor: | chrisno |
Das Du mit einem Minuszeichen rechnen musst, hat dir Fred geschrieben.
Du musst herausbekommen, wie das Vorzeichen von v ist, damit Du den Betrag richtig auflösen kannst. Der entscheidende Hinweis kommt aus der vereinfachten Differntialgleichung:
$ [mm] m\cdot{}\bruch{dv}{dt}=-mg$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:10 Di 02.12.2014 | | Autor: | Rzeta |
Eigentlich kann ich doch sofort aus [mm] v*|v|=-v^2 [/mm] schließen das v<0 ist oder?
Aus der Differentialgleichung würde ich das jetzt so sehen:
Zu dem Integral das ich eigentlich ausrechnen muss:
$ [mm] m\cdot{}\bruch{dv}{dt}=-mg [/mm] $
[mm] \gdw dv=-m\*g\*dt
[/mm]
[mm] \gdw \integral_{}^{}{1*dv}=-mg\integral_{}^{}{1*dt}
[/mm]
[mm] \gdw v=-m\*g\*t
[/mm]
Daraus sieht man dann das v eine negativ gerichtete Größe ist. Physikalisch interpretiert zeigt die Geschwindigkeit v in dem Bezugssystem in negative y Richtung.
Zu dem Integral das ich ausrechnen soll:
$ [mm] \integral_{0}^{v(t)}{\bruch{dv'}{(v_e)^2-(v')^2}}=\integral_{0}^{t}{(\bruch{-k}{m}) dt'} [/mm] $
Die linke Seite ist ja sowas wie:
[mm] \integral_{0}^{v(t)}{\bruch{1}{(v_e)^2-(v')^2}dv'}
[/mm]
Integrier ich sowas mit [mm] \bruch{d}{dy}ln(y)=\bruch{1}{y}dy [/mm] oder gibt es da einfachere wege?
Liebe Grüße und vielen Dank für die Hilfe und Geduld
Rzeta
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:11 Di 02.12.2014 | | Autor: | chrisno |
> Eigentlich kann ich doch sofort aus [mm]v*|v|=-v^2[/mm] schließen
> das v<0 ist oder?
Nur das es herauskommen soll. Warum es so ist kannst Du nicht aus dem Ergebnis begründen.
>
> Aus der Differentialgleichung würde ich das jetzt so
> sehen: ....
>
>
>
> Zu dem Integral das ich eigentlich ausrechnen muss:
>
> [mm]m\cdot{}\bruch{dv}{dt}=-mg[/mm]
>
> [mm]\gdw dv=-m\*g\*dt[/mm]
gepennt, das m ist doch weg
>
> [mm]\gdw \integral_{}^{}{1*dv}=-mg\integral_{}^{}{1*dt}[/mm]
>
> [mm]\gdw v=-m\*g\*t[/mm]
ohne das m
>
> Daraus sieht man dann das v eine negativ gerichtete Größe
> ist. Physikalisch interpretiert zeigt die Geschwindigkeit v
> in dem Bezugssystem in negative y Richtung.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Zu dem Integral das ich ausrechnen soll:
>
> [mm]\integral_{0}^{v(t)}{\bruch{dv'}{(v_e)^2-(v')^2}}=\integral_{0}^{t}{(\bruch{-k}{m}) dt'}[/mm]
>
> Die linke Seite ist ja sowas wie:
>
> [mm]\integral_{0}^{v(t)}{\bruch{1}{(v_e)^2-(v')^2}dv'}[/mm]
>
> Integrier ich sowas mit [mm]\bruch{d}{dy}ln(y)=\bruch{1}{y}dy[/mm]
> oder gibt es da einfachere wege?
Nein, kompliziertere, da da nicht 1/y steht sondern noch ein Quadrat.
>
> Liebe Grüße und vielen Dank für die Hilfe und Geduld
>
> Rzeta
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:55 Di 02.12.2014 | | Autor: | Rzeta |
Hier ist mein Ansatz:
[mm] \integral_{0}^{v(t)}{\bruch{dv'}{v_e^2-v'^2}}=\integral_{0}^{t}{-\bruch{k}{m} dt'}
[/mm]
[mm] \gdw \integral_{0}^{v(t)}{\bruch{dv'}{v_e^2-v'^2}}=-\bruch{k}{m}\integral_{0}^{t}{dt'}=-\bruch{kt}{m}
[/mm]
[mm] \gdw \integral_{0}^{v(t)}{\bruch{1}{v_e^2-v'^2}dv'}=-\bruch{kt}{m}
[/mm]
[mm] \gdw \integral_{0}^{v(t)}{\bruch{1}{v_e^2(1-\bruch{v'^2}{v_e^2})}dv'}=-\bruch{kt}{m}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{1}{v_e^2}\integral_{0}^{v(t)}{\bruch{1}{(1-\bruch{v'^2}{v_e^2})}dv'}=-\bruch{kt}{m}
[/mm]
substitution [mm] w=\bruch{v'^2}{v_e^2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{1}{v_e^2}\integral_{0}^{w(t)}{\bruch{1}{1-w}}dw=-\bruch{kt}{m}
[/mm]
Ist das soweit korrekt?
Liebe Grüße
Rzeta
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:16 Di 02.12.2014 | | Autor: | chrisno |
> Hier ist mein Ansatz:
>
> [mm]\integral_{0}^{v(t)}{\bruch{dv'}{v_e^2-v'^2}}=\integral_{0}^{t}{-\bruch{k}{m} dt'}[/mm]
>
> [mm]\gdw \integral_{0}^{v(t)}{\bruch{dv'}{v_e^2-v'^2}}=-\bruch{k}{m}\integral_{0}^{t}{dt'}=-\bruch{kt}{m}[/mm]
>
> [mm]\gdw \integral_{0}^{v(t)}{\bruch{1}{v_e^2-v'^2}dv'}=-\bruch{kt}{m}[/mm]
Hier anhalten. Zu meiner Zeit nannte man so etwas "Bronstein-integrabel", nach dem Buch, in dem man schnell nachschlagen konnte. Der Papula hat es sicher auch. Ich habe in Wikibooks Formelsammllung Mathematik nachgesehen.
>
> [mm]\gdw \integral_{0}^{v(t)}{\bruch{1}{v_e^2(1-\bruch{v'^2}{v_e^2})}dv'}=-\bruch{kt}{m}[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{1}{v_e^2}\integral_{0}^{v(t)}{\bruch{1}{(1-\bruch{v'^2}{v_e^2})}dv'}=-\bruch{kt}{m}[/mm]
>
> substitution [mm]w=\bruch{v'^2}{v_e^2}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{1}{v_e^2}\integral_{0}^{w(t)}{\bruch{1}{1-w}}dw=-\bruch{kt}{m}[/mm]
>
> Ist das soweit korrekt?
Da stimmt es nicht mehr. Du musst mit du/dw = ... oder dw/du = ... die Ableitung berechnen und dann mit du = ... dw das Differential substituieren. Lass das aber, schau Dir an, schlag das Integral nach.
>
> Liebe Grüße
>
> Rzeta
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:33 Di 02.12.2014 | | Autor: | Rzeta |
Ah stimmt. Da habe ich einen Fehler gemacht. Ich habe leider das Buch von Bronstein nicht. Empfiehlt es sich sowas zu kaufen?
Ich habe jetzt eine Formel gefunden die meinem Integral sehr Ähnlich ist:
[mm] \integral_{}^{}{\frac{1}{1-x^2} dx}\;,\;\left| x \right|<1=\operatorname{artanh}\;x\;
[/mm]
Aber dann muss ich doch wieder eine Substitution [mm] ((\bruch{v'^2}{v_e^2})^2=w^2) [/mm] machen um mein Integral in die Form zu bringen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:40 Di 02.12.2014 | | Autor: | chrisno |
Solange Du mit dem Internet verbunden bist, brauchst Du so ein Buch nicht. Nimm mal die Version mit dem ln||.
Da war ich schon im Schlaf. Der arctanh ist die gewünschte Version, damit kommt als Lösung auch tanh heraus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:56 Di 02.12.2014 | | Autor: | Rzeta |
Ich nehme mal an du meinst diese Darstellung:
[mm] \bruch{1}{2}ln(\bruch{1+x}{1-x})+C_1
[/mm]
Eingesetzt schaut das dann so aus:
[mm] \bruch{1}{v_e^2}\integral_{0}^{v(t)}{\bruch{1}{(1-\bruch{v'^2}{v_e^2})}dv'}=-\bruch{kt}{m}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{1}{2(v_e^2)}\bruch{1}{2}ln(\bruch{1+\bruch{v'}{v_e}}{1-\bruch{v'}{v_e}}) [/mm] (in den Schranken von 0 bis v(t)) [mm] =-\bruch{kt}{m}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{1}{2(v_e^2)}ln(\bruch{1+\bruch{v'}{v_e}}{1-\bruch{v'}{v_e}}) [/mm] (in den Schranken von 0 bis v(t)) [mm] =-\bruch{kt}{m}
[/mm]
Wie setzt ich jetzt aber das v(t) ein? Ich möchte ja eigentlich F(b)-F(a) ausrechnen. Setzt ich jetzt dann einfach v(t) ein?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:43 Di 02.12.2014 | | Autor: | chrisno |
Ja, so ganz sehe ich noch nicht, wie sich das auflöst. Das habe ich vor so drei Jahren zum letzten Mal gerechnet.
Also v(t) dahin, wo jetzt v' steht. Dann den Vorfaktor nach rechts schaffen und e hoch das Ganze.
Für mich ist Feierabend.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:51 Di 02.12.2014 | | Autor: | Rzeta |
Für mich ist heute auch Schluss. Vielen Dank für die Hilfe. Hat mir wirklich sehr geholfen das zu verstehen.
Schönen Abend noch
Liebe Grüße
Rzeta
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:27 Mi 03.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ah stimmt. Da habe ich einen Fehler gemacht. Ich habe
> leider das Buch von Bronstein nicht. Empfiehlt es sich
> sowas zu kaufen?
>
Nein. Es sind zu viele Fehler und Ungenauigkeiten drin.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:41 Mi 03.12.2014 | | Autor: | Rzeta |
Ok dann weiß ich bescheid. Danke!
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